Nonlin_def.cayleyR6u

|- (!x1. (!x2. (!x3. (!x4. (!x5. (!x6. (((((((cayleyR6u x1) x2) x3) x4) x5) x6) = ((real_add (real_neg ((real_mul x1) ((real_mul x1) ((real_mul x4) x4))))) ((real_add ((real_sub ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x1) ((real_mul x6) ((real_mul x4) x4))))) ((real_mul x6) ((real_mul x6) ((real_mul x4) x4))))) ((real_add ((real_sub ((real_sub ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x2) ((real_mul x1) ((real_mul x4) x5))))) ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x2) ((real_mul x6) ((real_mul x4) x5)))))) ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x1) ((real_mul x6) ((real_mul x4) x5)))))) ((real_add ((real_sub ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x6) ((real_mul x6) ((real_mul x4) x5))))) ((real_mul x2) ((real_mul x2) ((real_mul x5) x5))))) ((real_add ((real_sub ((real_sub ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x2) ((real_mul x6) ((real_mul x5) x5))))) ((real_mul x6) ((real_mul x6) 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_0))))))) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))) ((real_mul x3) ((real_mul x3) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))) ((real_add ((real_sub ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x3) ((real_mul x2) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))) ((real_mul x2) ((real_mul x2) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))) ((real_add ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x3) ((real_mul x4) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))) ((real_sub ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul x2) ((real_mul x4) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))) ((real_mul x4) ((real_mul x4) ((real_mul ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))) ((real_mul ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Tame_defs.nextElem

|- (((((nextElem NIL) b) x) = b) /\ ((((nextElem ((CONS a) aas)) b) x) = (((COND (x = a)) (((COND (aas = NIL)) b) (HD aas))) (((nextElem aas) b) x))))


Hypermap.lemma_edge_subset

|- (!H. (!x. ((x IN (dart H)) ==> (((edge H) x) SUBSET (dart H)))))


HOMOTOPICALLY_TRIVIAL_RETRACTION_NULL_GEN

|- (!P. (!Q. (!s. (!t. (!u. (!h. (!k. (((((continuous_on h) s) /\ ((((IMAGE h) s) = t) /\ (((continuous_on k) t) /\ ((((IMAGE k) t) SUBSET s) /\ ((!y. ((y IN t) ==> ((h (k y)) = y))) /\ ((!f. ((((continuous_on f) u) /\ ((((IMAGE f) u) SUBSET t) /\ (Q f))) ==> (P (k o f)))) /\ ((!f. ((((continuous_on f) u) /\ ((((IMAGE f) u) SUBSET s) /\ (P f))) ==> (Q (h o f)))) /\ (!h. (!k. ((!x. ((x IN u) ==> ((h x) = (k x)))) ==> ((Q h) = (Q k)))))))))))) /\ (!f. ((((continuous_on f) u) /\ ((((IMAGE f) u) SUBSET s) /\ (P f))) ==> (?c. ((((homotopic_with P) (u , s)) f) (\x. c)))))) ==> (!f. ((((continuous_on f) u) /\ ((((IMAGE f) u) SUBSET t) /\ (Q f))) ==> (?c. ((((homotopic_with Q) (u , t)) f) (\x. c)))))))))))))


CONIC_LINEAR_IMAGE_EQ

|- (!f. (!s. (((linear f) /\ (!x. (!y. (((f x) = (f y)) ==> (x = y))))) ==> ((conic ((IMAGE f) s)) = (conic s)))))


EXISTS_DROP

|- ((?x. (P x)) = (?x. (P (drop x))))


SUBSPACE_LINEAR_IMAGE

|- (!f. (!s. (((linear f) /\ (subspace s)) ==> (subspace ((IMAGE f) s)))))


SPAN_FINITE

|- (!s. ((FINITE s) ==> ((span s) = (GSPEC (\GEN%PVAR%141. (?y. (((SETSPEC GEN%PVAR%141) (?u. (((vsum s) (\v. ((% (u v)) v))) = y))) y)))))))


FUNDAMENTAL_THEOREM_OF_CALCULUS

|- (!f. (!f'. (!a. (!b. ((((real_le (drop a)) (drop b)) /\ (!x. ((x IN (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL))) ==> (((has_vector_derivative f) (f' x)) ((within (at x)) (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL))))))) ==> (((has_integral f') ((vector_sub (f b)) (f a))) (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL))))))))


CARD_FRONTIER_INTERVAL_1

|- (!s. ((is_interval s) ==> ((FINITE (frontier s)) /\ ((CARD (frontier s)) <= (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))))


JOINABLE_CONNECTED_COMPONENT_EQ

|- (!s. (!t. (!x. (!y. (((connected t) /\ ((t SUBSET s) /\ ((~ ((((connected_component s) x) INTER t) = EMPTY)) /\ (~ ((((connected_component s) y) INTER t) = EMPTY))))) ==> (((connected_component s) x) = ((connected_component s) y)))))))


REAL_DIFFERENTIABLE_AT_TAN

|- (!x. ((~ ((cos x) = (real_of_num (NUMERAL _0)))) ==> ((real_differentiable tan) (atreal x))))


HAS_VECTOR_DERIVATIVE_WITHIN_SUBSET

|- (!f. (!s. (!t. (!x. (((((has_vector_derivative f) f') ((within (at x)) s)) /\ (t SUBSET s)) ==> (((has_vector_derivative f) f') ((within (at x)) t)))))))


LOCALLY_CONNECTED_TRANSLATION_EQ

|- (!a. (!s. (((locally connected) ((IMAGE (\x. ((vector_add a) x))) s)) = ((locally connected) s))))


DIM_EQ_FULL

|- (!s. (((dim s) = (dimindex UNIV)) = ((span s) = UNIV)))


int_sub_th

|- (!x. (!y. ((real_of_int ((int_sub x) y)) = ((real_sub (real_of_int x)) (real_of_int y)))))


CONTINUOUS_ON_EMPTY

|- (!f. ((continuous_on f) EMPTY))


Lp_ineqs_proofs.pack_dist

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> ((fully_surrounded (V , E)) ==> (!x. (((packing V) /\ (x IN (dart_of_fan (V , E)))) ==> ((real_le (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) (distance x))))))))


Add_triangle.face_split_fan_face_explicit

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> ((fully_surrounded (V , E)) ==> (!v. (!w. ((((LET (\w'. (\H. (\H2. (LET_END ((((v , w) IN (dart_of_fan (V , E))) /\ ((NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))) < (CARD ((face H) (v , w))))) ==> (((((face H2) (v , w)) = ((v , w) INSERT ((w , w') INSERT ((w' , v) INSERT EMPTY)))) /\ (((face H2) (w' , w)) = ((w' , w) INSERT (((face H) (v , w)) DIFF ((v , w) INSERT ((w' , v) INSERT EMPTY)))))) /\ ((((CARD ((face H2) (v , w))) = (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) /\ ((CARD ((face H2) (w' , w))) = ((CARD ((face H) (v , w))) - (NUMERAL (BIT1 _0))))) /\ ((((v , w) IN ((face H) (v , w))) /\ (((w' , v) IN ((face H) (v , w))) /\ (~ ((w' , w) IN ((face H) (v , w)))))) /\ ((~ (w' = w)) /\ ((~ (v = w)) /\ (~ (v = w'))))))))))))) (((((sigma_fan (vec (NUMERAL _0))) V) E) v) w)) (hypermap_of_fan (V , E))) (hypermap_of_fan ((split_fan_face (V , E)) (v , w))))))))))


DOT_LMUL

|- (!c. (!x. (!y. (((dot ((% c) x)) y) = ((real_mul c) ((dot x) y))))))


CEXP_0

|- ((cexp (Cx (real_of_num (NUMERAL _0)))) = (Cx (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))))


int_max_th

|- (!x. (!y. ((real_of_int ((int_max x) y)) = ((real_max (real_of_int x)) (real_of_int y)))))


Constants_approx.CONST_INTERVAL

|- (!x. ((interval_arith x) (x , x)))


HAS_DERIVATIVE_VSUM

|- (!f. (!net. (!s. (((FINITE s) /\ (!a. ((a IN s) ==> (((has_derivative (f a)) (f' a)) net)))) ==> (((has_derivative (\x. ((vsum s) (\a. ((f a) x))))) (\h. ((vsum s) (\a. ((f' a) h))))) net)))))


KREIN_MILMAN_MINKOWSKI

|- (!s. (((convex s) /\ (compact s)) ==> (s = ((hull convex) (GSPEC (\GEN%PVAR%2241. (?x. (((SETSPEC GEN%PVAR%2241) ((extreme_point_of x) s)) x))))))))


REAL_LOG_CONVEX_IMP_POS

|- (!f. (!s. (!x. ((((real_log_convex_on f) s) /\ (x IN s)) ==> ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) (f x))))))


Terminal.FUNLIST_EXPLICIT

|- ((!data. (!d. (!k. (!i. (!j. ((((((funlist_v39 data) d) k) i) j) = (((COND ((i MOD k) = (j MOD k))) (real_of_num (NUMERAL _0))) (((ASSOCD_v39 ((psort k) (i , j))) ((MAP (GABS (\f. (!u. (!d. ((GEQ (f (u , d))) (((psort k) u) , d))))))) data)) d)))))))) /\ ((!data. (!u. (!u'. (!k. (!i. (!j. (((((((funlistA_v39 data) u) u') k) i) j) = (((COND ((i MOD k) = (j MOD k))) u) (((ASSOCD_v39 ((psort k) (i , j))) ((MAP (GABS (\f. (!u. (!d. ((GEQ (f (u , d))) (((psort k) u) , d))))))) data)) u'))))))))) /\ ((((NUMERAL _0) MOD (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) = (NUMERAL _0)) /\ ((((NUMERAL (BIT1 _0)) MOD (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) = (NUMERAL (BIT1 _0))) /\ ((((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) MOD (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) = (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))) /\ ((((NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))) MOD (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) = (NUMERAL _0)) /\ ((!x. (x = x)) /\ ((~ ((NUMERAL _0) = (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ ((~ ((NUMERAL _0) = (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((~ ((NUMERAL (BIT1 _0)) = (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((~ ((NUMERAL _0) = (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((~ ((NUMERAL (BIT1 _0)) = (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((~ ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) = (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))) ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL _0))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) , (NUMERAL _0))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))) , (NUMERAL _0))) = ((NUMERAL _0) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) = ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT1 _0)))) = ((NUMERAL (BIT1 _0)) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((((psort (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) ((NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) = ((NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))) , (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((!a. (!b. (!c. (!d. (((a , b) = (c , d)) = ((a = c) /\ (b = d))))))) /\ ((!a. (!d. ((((ASSOCD_v39 a) NIL) d) = d))) /\ ((!a. (!d. (!h. (!t. ((((ASSOCD_v39 a) ((CONS h) t)) d) = (((COND (a = (FST h))) (SND h)) (((ASSOCD_v39 a) t) d))))))) /\ ((!k. (((MAP (GABS (\f. (!u. (!d. ((GEQ (f (u , d))) (((psort k) u) , d))))))) NIL) = NIL)) /\ ((!p. (!d. ((((ASSOCD_v39 p) NIL) d) = d))) /\ (!k. (!i. (!j. (!r. (!t. (((MAP (GABS (\f. (!u. (!d. ((GEQ (f (u , d))) (((psort k) u) , d))))))) ((CONS ((i , j) , r)) t)) = ((CONS (((psort k) (i , j)) , r)) ((MAP (GABS (\f. (!u. (!d. ((GEQ (f (u , d))) (((psort k) u) , d))))))) t))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))


Lp_ineqs_def.rho_fan

|- (!v. ((rho_fan v) = (real_abs ((real_add (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) ((real_mul const1) ((real_sub (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) (ln_fan v)))))))


MATRIX_CMUL

|- (!f. (!c. ((linear f) ==> ((matrix (\x. ((% c) (f x)))) = ((%% c) (matrix f))))))


IN_SEGMENT

|- (!a. (!b. (!x. (((x IN (closed_segment ((CONS (a , b)) NIL))) = (?u. (((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) u) /\ (((real_le u) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ (x = ((vector_add ((% ((real_sub (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) u)) a)) ((% u) b))))))) /\ ((x IN (open_segment (a , b))) = ((~ (a = b)) /\ (?u. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) u) /\ (((real_lt u) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ (x = ((vector_add ((% ((real_sub (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) u)) a)) ((% u) b))))))))))))


Sphere.rhazim

|- (!y1. (!y2. (!y3. (!y4. (!y5. (!y6. (((((((rhazim y1) y2) y3) y4) y5) y6) = ((real_mul (rho y1)) ((((((dih_y y1) y2) y3) y4) y5) y6)))))))))


HAS_REAL_INTEGRAL_RESTRICT

|- (!f. (!s. (!t. ((s SUBSET t) ==> ((((has_real_integral (\x. (((COND (x IN s)) (f x)) (real_of_num (NUMERAL _0))))) i) t) = (((has_real_integral f) i) s))))))


BETWEEN_IN_SEGMENT

|- (!x. (!a. (!b. (((between x) (a , b)) = (x IN (closed_segment ((CONS (a , b)) NIL)))))))


HAS_MEASURE_ALMOST

|- (!s. (!s'. (!t. (!m. ((((has_measure s) m) /\ ((negligible t) /\ ((s UNION t) = (s' UNION t)))) ==> ((has_measure s') m))))))


VSUM_DELETE

|- (!f. (!s. (!a. (((FINITE s) /\ (a IN s)) ==> (((vsum (s DELETE a)) f) = ((vector_sub ((vsum s) f)) (f a)))))))


SUM_MULTICOUNT_GEN

|- (!R. (!s. (!t. (!k. (((FINITE s) /\ ((FINITE t) /\ (!j. ((j IN t) ==> ((CARD (GSPEC (\GEN%PVAR%203. (?i. (((SETSPEC GEN%PVAR%203) ((i IN s) /\ ((R i) j))) i))))) = (k j)))))) ==> (((sum s) (\i. (real_of_num (CARD (GSPEC (\GEN%PVAR%204. (?j. (((SETSPEC GEN%PVAR%204) ((j IN t) /\ ((R i) j))) j)))))))) = ((sum t) (\i. (real_of_num (k i))))))))))


REAL_LT_ADDNEG2

|- (!x. (!y. (!z. (((real_lt ((real_add x) (real_neg y))) z) = ((real_lt x) ((real_add z) y))))))


ABSORPTION

|- (!x. (!s. ((x IN s) = ((x INSERT s) = s))))


CONVEX_CBALL

|- (!x. (!e. (convex (cball (x , e)))))


CLOG_WORKS

|- (!z. ((~ (z = (Cx (real_of_num (NUMERAL _0))))) ==> (((cexp (clog z)) = z) /\ (((real_lt (real_neg pi)) (Im (clog z))) /\ ((real_le (Im (clog z))) pi)))))


REAL_SUB_LT

|- (!x. (!y. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) ((real_sub x) y)) = ((real_lt y) x))))


PATH_IMAGE_SUBPATH_GEN

|- (!u. (!v. (!g. ((path_image (((subpath u) v) g)) = ((IMAGE g) (closed_segment ((CONS (u , v)) NIL)))))))


Hypermap_iso.image_set_inj_gen

|- (!u. (!f. ((!x. (!y. (((x IN u) /\ ((y IN u) /\ ((f x) = (f y)))) ==> (x = y)))) ==> (!s. (!t. (((s SUBSET u) /\ ((t SUBSET u) /\ (((IMAGE f) s) = ((IMAGE f) t)))) ==> (s = t)))))))


vector_derivative

|- (!f. (!net. (((vector_derivative f) net) = (@f'. (((has_vector_derivative f) f') net)))))


CONVEX_CONE_LINEAR_IMAGE

|- (!f. (!s. (((convex_cone s) /\ (linear f)) ==> (convex_cone ((IMAGE f) s)))))


Ssrnat.subn_add2l

|- (!p. (!m. (!n. (((p + m) - (p + n)) = (m - n)))))


EVENTUALLY_SEQUENTIALLY

|- (!p. (((eventually p) sequentially) = (?N. (!n. ((N <= n) ==> (p n))))))


Sphere.affsign

|- (!v. (!sgn. (!s. (!t. (((((affsign sgn) s) t) v) = (?f. ((v = ((lin_combo (s UNION t)) f)) /\ ((!w. ((t w) ==> (sgn (f w)))) /\ (((sum (s UNION t)) f) = (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))))))))))


REAL_DIFFERENTIABLE_AT_SIN

|- (!x. ((real_differentiable sin) (atreal x)))


REALLIM_1_OVER_N

|- (((---> (\n. (real_inv (real_of_num n)))) (real_of_num (NUMERAL _0))) sequentially)


DIAMETER_POS_LE

|- (!s. ((bounded s) ==> ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) (diameter s))))


HAS_INTEGRAL_SPIKE_INTERIOR

|- (!f. (!g. (!a. (!b. (!y. (((!x. ((x IN (open_interval (a , b))) ==> ((g x) = (f x)))) /\ (((has_integral f) y) (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL)))) ==> (((has_integral g) y) (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL)))))))))


BERNOULLI_ALT

|- (!n. (!x. (((sum ((NUMERAL _0) .. n)) (\k. ((real_mul (real_of_num (binom ((n + (NUMERAL (BIT1 _0))) , k)))) ((bernoulli k) x)))) = ((real_mul ((real_add (real_of_num n)) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))) ((real_pow x) n)))))


DIST_NZ

|- (!x. (!y. ((~ (x = y)) = ((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) (distance (x , y))))))


VECTOR_DERIVATIVE_WORKS

|- (!net. (!f. (((differentiable f) net) = (((has_vector_derivative f) ((vector_derivative f) net)) net))))


IN_BALL

|- (!x. (!y. (!e. ((y IN (ball (x , e))) = ((real_lt (distance (x , y))) e)))))


VSUM_SUPERSET

|- (!f. (!u. (!v. (((u SUBSET v) /\ (!x. (((x IN v) /\ (~ (x IN u))) ==> ((f x) = (vec (NUMERAL _0)))))) ==> (((vsum v) f) = ((vsum u) f))))))


REAL_POW2_ABS

|- (!x. (((real_pow (real_abs x)) (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))) = ((real_pow x) (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))))


SUM_LE_NUMSEG

|- (!f. (!g. (!m. (!n. ((!i. (((m <= i) /\ (i <= n)) ==> ((real_le (f i)) (g i)))) ==> ((real_le ((sum (m .. n)) f)) ((sum (m .. n)) g)))))))


LOCALLY_COMPACT_INTER

|- (!s. (!t. ((((locally compact) s) /\ ((locally compact) t)) ==> ((locally compact) (s INTER t)))))


MAP

|- ((!f. (((MAP f) NIL) = NIL)) /\ (!f. (!h. (!t. (((MAP f) ((CONS h) t)) = ((CONS (f h)) ((MAP f) t)))))))


ORTHOGONAL_TRANSFORMATION_INVERSE

|- (!f. ((orthogonal_transformation f) ==> (?g. ((orthogonal_transformation g) /\ ((!x. ((g (f x)) = x)) /\ (!y. ((f (g y)) = y)))))))


DROP_EQ_0

|- (!x. (((drop x) = (real_of_num (NUMERAL _0))) = (x = (vec (NUMERAL _0)))))


HOMOTOPY_EQUIVALENT_TRANSLATION_LEFT_EQ

|- (!a. (!s. (!t. (((homotopy_equivalent ((IMAGE (\x. ((vector_add a) x))) s)) t) = ((homotopy_equivalent s) t)))))


Tame_defs2.sub

|- (!a. (!n. (((sub a) n) = (sub1 (a , n)))))


RELATIVE_FRONTIER_INJECTIVE_LINEAR_IMAGE

|- (!f. (!s. (((linear f) /\ (!x. (!y. (((f x) = (f y)) ==> (x = y))))) ==> ((relative_frontier ((IMAGE f) s)) = ((IMAGE f) (relative_frontier s))))))


DIFFERENTIABLE_AT_IMP_DIFFERENTIABLE_ON

|- (!f. (!s. ((!x. ((x IN s) ==> ((differentiable f) (at x)))) ==> ((differentiable_on f) s))))


DIM_SUMS_INTER

|- (!s. (!t. (((subspace s) /\ (subspace t)) ==> (((dim (GSPEC (\GEN%PVAR%205. (?x. (?y. (((SETSPEC GEN%PVAR%205) ((x IN s) /\ (y IN t))) ((vector_add x) y))))))) + (dim (s INTER t))) = ((dim s) + (dim t))))))


REALLIM_WITHINREAL

|- (!f. (!l. (!a. (!s. ((((---> f) l) ((within (atreal a)) s)) = (!e. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) e) ==> (?d. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) d) /\ (!x. (((x IN s) /\ (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) (real_abs ((real_sub x) a))) /\ ((real_lt (real_abs ((real_sub x) a))) d))) ==> ((real_lt (real_abs ((real_sub (f x)) l))) e))))))))))))


SPHERE_TRANSLATION

|- (!a. (!x. (!r. ((sphere (((vector_add a) x) , r)) = ((IMAGE (\y. ((vector_add a) y))) (sphere (x , r)))))))


LIM_Z_TIMES_CLOG

|- (((--> (\z. ((complex_mul z) (clog z)))) (Cx (real_of_num (NUMERAL _0)))) (at (Cx (real_of_num (NUMERAL _0)))))


orthogonal_transformation

|- (!f. ((orthogonal_transformation f) = ((linear f) /\ (!v. (!w. (((dot (f v)) (f w)) = ((dot v) w)))))))


COMPLEX_ADD_RID

|- (!x. (((vector_add x) (Cx (real_of_num (NUMERAL _0)))) = x))


RPOW_MINUS1_QUOTIENT_LT

|- (!a. (!x. (!y. ((((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) a) /\ ((~ (a = (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))) /\ (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) x) /\ ((real_lt x) y)))) ==> ((real_lt ((real_div ((real_sub ((rpow a) x)) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))) x)) ((real_div ((real_sub ((rpow a) y)) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))) y))))))


AFF_DIM_SING

|- (!a. ((aff_dim (a INSERT EMPTY)) = (int_of_num (NUMERAL _0))))


INSERT_AC

|- (((x INSERT (y INSERT s)) = (y INSERT (x INSERT s))) /\ ((x INSERT (x INSERT s)) = (x INSERT s)))


CONNECTED_TRANSLATION_EQ

|- (!a. (!s. ((connected ((IMAGE (\x. ((vector_add a) x))) s)) = (connected s))))


INTEGRABLE_SUB

|- (!f. (!g. (!s. ((((integrable_on f) s) /\ ((integrable_on g) s)) ==> ((integrable_on (\x. ((vector_sub (f x)) (g x)))) s)))))


Tame_inequalities.INEQ_ALT

|- (!A. (!bounds. (((ineq bounds) A) = (((ALL (GABS (\f. (!a. (!x. (!b. ((GEQ (f (a , (x , b)))) (((real_le a) x) /\ ((real_le x) b))))))))) bounds) ==> A))))


ITERATE_IMAGE_NONZERO

|- (!op. ((monoidal op) ==> (!g. (!f. (!s. (((FINITE s) /\ (!x. (!y. (((x IN s) /\ ((y IN s) /\ ((~ (x = y)) /\ ((f x) = (f y))))) ==> ((g (f x)) = (neutral op)))))) ==> ((((iterate op) ((IMAGE f) s)) g) = (((iterate op) s) (g o f)))))))))


LIM_NULL_COMPLEX

|- (!net. (!f. ((((--> f) l) net) = (((--> (\x. ((vector_sub (f x)) l))) (Cx (real_of_num (NUMERAL _0)))) net))))


CARD_LE_TRANS

|- (!s. (!t. (!u. (((s <=_c t) /\ (t <=_c u)) ==> (s <=_c u)))))


SIMPLEX_IMP_POLYTOPE

|- (!n. (!s. (((simplex n) s) ==> (polytope s))))


AFF_DIM_LE_CARD

|- (!s. ((FINITE s) ==> ((int_le (aff_dim s)) ((int_sub (int_of_num (CARD s))) (int_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))))))


PASTECART_IN_INTERIOR_SUBTOPOLOGY

|- (!s. (!t. (!u. (!x. (!y. (((((pastecart x) y) IN u) /\ ((open_in ((subtopology euclidean) (s PCROSS t))) u)) ==> (?v. (?w. (((open_in ((subtopology euclidean) s)) v) /\ ((x IN v) /\ (((open_in ((subtopology euclidean) t)) w) /\ ((y IN w) /\ ((v PCROSS w) SUBSET u)))))))))))))


INSIDE_INSIDE

|- (!s. (!t. ((s SUBSET (inside t)) ==> (((inside s) DIFF t) SUBSET (inside t)))))


Lp_ineqs_proofs.y5_hi_std2

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> ((fully_surrounded (V , E)) ==> ((packing V) ==> ((V SUBSET ball_annulus) ==> ((E = (ESTD V)) ==> (!d. ((d IN (dart_of_fan (V , E))) ==> ((real_le ((y5_fan (V , E)) d)) ((DECIMAL (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 (BIT1 (BIT1 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))) (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT0 (BIT0 (BIT1 (BIT1 _0)))))))))))))))))))


Yxionxl2.LINAER_SYM_0

|- (linear (\x. (vector_neg x)))


dot

|- (!x. (!y. (((dot x) y) = ((sum ((NUMERAL (BIT1 _0)) .. (dimindex UNIV))) (\i. ((real_mul (x $ i)) (y $ i)))))))


LINEAR_FSTCART

|- (linear fstcart)


DIST_TRIANGLE

|- (!x. (!y. (!z. ((real_le (distance (x , z))) ((real_add (distance (x , y))) (distance (y , z)))))))


REAL_MEASURABLE_ON_RESTRICT

|- (!f. (!s. ((((real_measurable_on f) UNIV) /\ (real_lebesgue_measurable s)) ==> ((real_measurable_on (\x. (((COND (x IN s)) (f x)) (real_of_num (NUMERAL _0))))) UNIV))))


Tame_lemmas.fully_surrounded_sol

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> ((fully_surrounded (V , E)) ==> (!v. (!w. (((v , w) IN (dart_of_fan (V , E))) ==> (((sol (vec (NUMERAL _0))) (((((dart_leads_into (vec (NUMERAL _0))) V) E) v) w)) = ((real_add ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) pi)) ((sum ((face (hypermap_of_fan (V , E))) (v , w))) (\x. ((real_sub ((azim_dart (V , E)) x)) pi))))))))))))


CNJ_POW

|- (!z. (!n. ((cnj ((complex_pow z) n)) = ((complex_pow (cnj z)) n))))


LIM_COMPOSE_AT

|- (!net. (!f. (!g. (!y. (!z. (((((--> f) y) net) /\ (((eventually (\w. (((f w) = y) ==> ((g y) = z)))) net) /\ (((--> g) z) (at y)))) ==> (((--> (g o f)) z) net)))))))


INTEGRABLE_ADD

|- (!f. (!g. (!s. ((((integrable_on f) s) /\ ((integrable_on g) s)) ==> ((integrable_on (\x. ((vector_add (f x)) (g x)))) s)))))


REAL_LOG_CONVEX_CONST

|- (!s. (!a. (((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) a) ==> ((real_log_convex_on (\x. a)) s))))


CONTINUOUS_COMPLEX_DIV_WITHIN

|- (!f. (!g. (!s. (!a. ((((continuous f) ((within (at a)) s)) /\ (((continuous g) ((within (at a)) s)) /\ (~ ((g a) = (Cx (real_of_num (NUMERAL _0))))))) ==> ((continuous (\x. ((complex_div (f x)) (g x)))) ((within (at a)) s)))))))


o_DEF

|- (!f. (!g. ((f o g) = (\x. (f (g x))))))


REAL_HALF

|- ((!e. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) ((real_div e) (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))) = ((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) e))) /\ ((!e. (((real_add ((real_div e) (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))) ((real_div e) (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))) = e)) /\ (!e. (((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_div e) (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))) = e))))


Seq.incr_nth

|- ((((incr_nth ((CONS n) v')) (SUC i)) = ((CONS n) ((incr_nth v') i))) /\ ((((incr_nth ((CONS n) v')) (NUMERAL _0)) = ((CONS (SUC n)) v')) /\ (((incr_nth NIL) i) = (((ncons i) (NUMERAL _0)) ((CONS (NUMERAL (BIT1 _0))) NIL)))))


OUTSIDE_SUBSET_CONVEX

|- (!s. (!t. (((convex t) /\ (s SUBSET t)) ==> ((UNIV DIFF t) SUBSET (outside s)))))


FINITE_POLYHEDRON_EXTREME_POINTS

|- (!s. ((polyhedron s) ==> (FINITE (GSPEC (\GEN%PVAR%2354. (?v. (((SETSPEC GEN%PVAR%2354) ((extreme_point_of v) s)) v)))))))


BIJ

|- (!f. (!s. (!t. ((((BIJ f) s) t) = ((((INJ f) s) t) /\ (((SURJ f) s) t))))))


FORALL_3

|- (!P. ((!i. ((((NUMERAL (BIT1 _0)) <= i) /\ (i <= (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) ==> (P i))) = ((P (NUMERAL (BIT1 _0))) /\ ((P (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))) /\ (P (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))))))


SUM_POS_BOUND

|- (!f. (!b. (!s. (((FINITE s) /\ ((!x. ((x IN s) ==> ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) (f x)))) /\ ((real_le ((sum s) f)) b))) ==> (!x. ((x IN s) ==> ((real_le (f x)) b)))))))


Planarity.aff_ge1_subset_aff_ge

|- (!x. (!v. (!u. (!v1. ((((DISJOINT (x INSERT EMPTY)) (v INSERT (u INSERT EMPTY))) /\ ((~ (collinear (x INSERT (v1 INSERT (u INSERT EMPTY))))) /\ (v1 IN ((aff_ge (x INSERT EMPTY)) (v INSERT (u INSERT EMPTY)))))) ==> (((aff_ge (x INSERT EMPTY)) (v1 INSERT (u INSERT EMPTY))) SUBSET ((aff_ge (x INSERT EMPTY)) (v INSERT (u INSERT EMPTY)))))))))


Tame_list.lower_case

|- ((MAP = map) /\ ((LENGTH = sizel) /\ ((FILTER = filter) /\ ((REVERSE = rev) /\ ((!s. (!x0. ((~ (NIL = s)) ==> ((LAST s) = ((last x0) s))))) /\ ((APPEND = cat) /\ (ALL = all)))))))


Pack1.sum_measure_voronoi_le_ball

|- (!S. (!p. (!r. ((((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) r) /\ ((packing S) /\ (saturated S))) ==> ((real_le ((sum (S INTER (ball (p , ((real_add r) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))))))) (\v. (measure ((voronoi_open S) v))))) (measure (ball (p , ((real_add r) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0)))))))))))))


Dih2k_hypermap.DART_OF_HYP_SY_EQ

|- (((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , ((V_SY (vecmats l)) , (E_SY (vecmats l))))) /\ (((NUMERAL (BIT1 _0)) < (dimindex UNIV)) /\ (!i. (!j. ((((NUMERAL (BIT1 _0)) <= i) /\ ((i <= (dimindex UNIV)) /\ (((NUMERAL (BIT1 _0)) <= j) /\ ((j <= (dimindex UNIV)) /\ (((row i) (vecmats l)) = ((row j) (vecmats l))))))) ==> (i = j)))))) ==> (((darts_of_hyp (E_SY (vecmats l))) (V_SY (vecmats l))) = ((F_SY (vecmats l)) UNION ((IMAGE (nn_of_hyp ((vec (NUMERAL _0)) , ((V_SY (vecmats l)) , (E_SY (vecmats l)))))) (F_SY (vecmats l))))))


REAL_EQ_NEG2

|- (!x. (!y. (((real_neg x) = (real_neg y)) = (x = y))))


HAS_COMPLEX_DERIVATIVE_CACS

|- (!z. ((((Im z) = (real_of_num (NUMERAL _0))) ==> ((real_lt (real_abs (Re z))) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))) ==> (((has_complex_derivative cacs) (vector_neg (complex_inv (csin (cacs z))))) (at z))))


int_pow_th

|- (!x. (!n. ((real_of_int ((int_pow x) n)) = ((real_pow (real_of_int x)) n))))


LE_ADD2

|- (!m. (!n. (!p. (!q. (((m <= p) /\ (n <= q)) ==> ((m + n) <= (p + q)))))))


AFFINE_HULL_HALFSPACE_LT

|- (!a. (!b. (((hull affine) (GSPEC (\GEN%PVAR%1543. (?x. (((SETSPEC GEN%PVAR%1543) ((real_lt ((dot a) x)) b)) x))))) = (((COND ((a = (vec (NUMERAL _0))) /\ ((real_le b) (real_of_num (NUMERAL _0))))) EMPTY) UNIV))))


AFF_DIM_DIM_SUBSPACE

|- (!s. ((subspace s) ==> ((aff_dim s) = (int_of_num (dim s)))))


PERMUTATION_COMPOSE

|- (!p. (!q. (((permutation p) /\ (permutation q)) ==> (permutation (p o q)))))


Nonlinear_lemma.dih_x_sym

|- (!x1. (!x2. (!x3. (!x4. (!x5. (!x6. (((((((dih_x x1) x2) x3) x4) x5) x6) = ((((((dih_x x1) x3) x2) x4) x6) x5))))))))


REAL_LE_LMUL_EQ

|- (!x. (!y. (!z. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) z) ==> (((real_le ((real_mul z) x)) ((real_mul z) y)) = ((real_le x) y))))))


NOT_CONS_NIL

|- (!h. (!t. (~ (((CONS h) t) = NIL))))


Seq.eqseq_cons

|- (!x1. (!x2. (!s1. (!s2. ((((CONS x1) s1) = ((CONS x2) s2)) = ((x1 = x2) /\ (s1 = s2)))))))


REAL_INTEGRABLE_INTEGRAL

|- (!f. (!i. (((real_integrable_on f) i) ==> (((has_real_integral f) ((real_integral i) f)) i))))


PRE_ELIM_THM

|- ((P (PRE n)) = (!m. (((n = (SUC m)) \/ ((m = (NUMERAL _0)) /\ (n = (NUMERAL _0)))) ==> (P m))))


HAS_REAL_FRECHET_DERIVATIVE_WITHIN

|- ((((has_real_derivative f) f') ((within (atreal x)) s)) = (((has_derivative (lift o (f o drop))) (\x. ((% f') x))) ((within (at (lift x))) ((IMAGE lift) s))))


INTERVAL_NE_EMPTY_1

|- ((!a. (!b. ((~ ((closed_interval ((CONS (a , b)) NIL)) = EMPTY)) = ((real_le (drop a)) (drop b))))) /\ (!a. (!b. ((~ ((open_interval (a , b)) = EMPTY)) = ((real_lt (drop a)) (drop b))))))


VSUM_CLAUSES_LEFT

|- (!f. (!m. (!n. ((m <= n) ==> (((vsum (m .. n)) f) = ((vector_add (f m)) ((vsum ((m + (NUMERAL (BIT1 _0))) .. n)) f)))))))


REAL_INTERVAL_NE_EMPTY

|- ((!a. (!b. ((~ ((closed_real_interval ((CONS (a , b)) NIL)) = EMPTY)) = ((real_le a) b)))) /\ (!a. (!b. ((~ ((open_real_interval (a , b)) = EMPTY)) = ((real_lt a) b)))))


Seq2.mem_flatten

|- (!x. (!L. (((MEM x) (flatten L)) = (?l. (((MEM l) L) /\ ((MEM x) l))))))


VSUM_COMPONENT

|- (!s. (!f. (!i. ((((NUMERAL (BIT1 _0)) <= i) /\ (i <= (dimindex UNIV))) ==> ((((vsum s) f) $ i) = ((sum s) (\x. ((f x) $ i))))))))


REAL_NOT_LT

|- (!x. (!y. ((~ ((real_lt x) y)) = ((real_le y) x))))


CONVEX_HULL_EMPTY

|- (((hull convex) EMPTY) = EMPTY)


MATRIX_VECTOR_MUL_ADD_RDISTRIB

|- (!A. (!B. (!x. (((matrix_vector_mul ((matrix_add A) B)) x) = ((vector_add ((matrix_vector_mul A) x)) ((matrix_vector_mul B) x))))))


OPEN_INTERVAL

|- (!a. (!b. (open (open_interval (a , b)))))


Collect_geom2.NOT_COPLANAR_IMP_RADV_PROPERTIES

|- ((~ (coplanar_alt (v1 INSERT (v2 INSERT (v3 INSERT (v4 INSERT EMPTY)))))) ==> (!w. (((v1 INSERT (v2 INSERT (v3 INSERT (v4 INSERT EMPTY)))) w) ==> ((radV (v1 INSERT (v2 INSERT (v3 INSERT (v4 INSERT EMPTY))))) = (distance ((circumcenter (v1 INSERT (v2 INSERT (v3 INSERT (v4 INSERT EMPTY))))) , w))))))


BASIS_INJ_EQ

|- (!i. (!j. ((((NUMERAL (BIT1 _0)) <= i) /\ ((i <= (dimindex UNIV)) /\ (((NUMERAL (BIT1 _0)) <= j) /\ (j <= (dimindex UNIV))))) ==> (((basis i) = (basis j)) = (i = j)))))


SERIES_SUB

|- (!x. (!x0. (!y. (!y0. (!s. (((((sums x) x0) s) /\ (((sums y) y0) s)) ==> (((sums (\n. ((vector_sub (x n)) (y n)))) ((vector_sub x0) y0)) s)))))))


MULT_SYM

|- (!m. (!n. ((m * n) = (n * m))))


REAL_CONTINUOUS_ON_UNION

|- (!f. (!s. (!t. (((real_closed s) /\ ((real_closed t) /\ (((real_continuous_on f) s) /\ ((real_continuous_on f) t)))) ==> ((real_continuous_on f) (s UNION t))))))


Fan.sum4_azim_fan

|- (!x. (!v. (!u. (!w1. (!w2. ((((real_le ((((azim x) v) u) w1)) ((((azim x) v) u) w2)) /\ ((~ (collinear (x INSERT (v INSERT (w1 INSERT EMPTY))))) /\ ((~ (collinear (x INSERT (v INSERT (w2 INSERT EMPTY))))) /\ (~ (collinear (x INSERT (v INSERT (u INSERT EMPTY)))))))) ==> (((((azim x) v) u) w2) = ((real_add ((((azim x) v) u) w1)) ((((azim x) v) w1) w2)))))))))


HAS_REAL_MEASURE_MEASURE

|- (!s. ((real_measurable s) = ((has_real_measure s) (real_measure s))))


real_polynomial_function_RULES

|- ((!i. ((((NUMERAL (BIT1 _0)) <= i) /\ (i <= (dimindex UNIV))) ==> (real_polynomial_function (\x. (x $ i))))) /\ ((!c. (real_polynomial_function (\x. c))) /\ ((!f. (!g. (((real_polynomial_function f) /\ (real_polynomial_function g)) ==> (real_polynomial_function (\x. ((real_add (f x)) (g x))))))) /\ (!f. (!g. (((real_polynomial_function f) /\ (real_polynomial_function g)) ==> (real_polynomial_function (\x. ((real_mul (f x)) (g x))))))))))


LE_EXISTS

|- (!m. (!n. ((m <= n) = (?d. (n = (m + d))))))


SETDIST_LE_SING

|- (!s. (!t. (!x. ((x IN s) ==> ((real_le (setdist (s , t))) (setdist ((x INSERT EMPTY) , t)))))))


HOMOTOPIC_INVERTIBLE_LINEAR_MAPS_ALT

|- (!f. (!g. (((((homotopic_with (\h. ((linear h) /\ (invertible (matrix h))))) (UNIV , UNIV)) f) g) = ((linear f) /\ ((linear g) /\ ((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) ((real_mul (real_sgn (det (matrix f)))) (real_sgn (det (matrix g))))))))))


LEBESGUE_MEASURABLE_COMPL

|- (!s. ((lebesgue_measurable (UNIV DIFF s)) = (lebesgue_measurable s)))


ENR_IMP_FSGIMA

|- (!s. ((ENR s) ==> (fsigma s)))


Seq.nth0

|- (!x0. (!s. ((((nth x0) s) (NUMERAL _0)) = ((headl x0) s))))


Ssrfun.injective

|- (!f. ((injective f) = (!x1. (!x2. (((f x1) = (f x2)) ==> (x1 = x2))))))


Ssrbool.negbK

|- (!b. ((~ (~ b)) = b))


HOMOTOPIC_WITH_TRANS

|- (!P. (!X. (!Y. (!f. (!g. (!h. ((((((homotopic_with P) (X , Y)) f) g) /\ ((((homotopic_with P) (X , Y)) g) h)) ==> ((((homotopic_with P) (X , Y)) f) h))))))))


Ssrbool.addbb

|- (!b. (((XOR b) b) = F))


CONNECTED_OPEN_PATH_CONNECTED

|- (!s. (((open s) /\ (connected s)) ==> (path_connected s)))


ANR_COVERING_SPACE_EQ

|- (!p. (!s. (!c. (((covering_space (c , p)) s) ==> ((ANR s) = (ANR c))))))


NOT_EXISTS_THM

|- (!P. ((~ (?x. (P x))) = (!x. (~ (P x)))))


REAL_LE_SUP

|- (!s. (!a. (!b. (!y. (((y IN s) /\ (((real_le a) y) /\ (!x. ((x IN s) ==> ((real_le x) b))))) ==> ((real_le a) (sup s)))))))


REALLIM_TRANSFORM_EVENTUALLY

|- (!net. (!f. (!g. (!l. ((((eventually (\x. ((f x) = (g x)))) net) /\ (((---> f) l) net)) ==> (((---> g) l) net))))))


EXISTS_PATH_SUBPATH_TO_FRONTIER

|- (!g. (!s. (((path g) /\ (((pathstart g) IN s) /\ (~ ((pathfinish g) IN s)))) ==> (?h. ((path h) /\ (((pathstart h) = (pathstart g)) /\ (((path_image h) SUBSET (path_image g)) /\ ((((path_image h) DELETE (pathfinish h)) SUBSET (interior s)) /\ ((pathfinish h) IN (frontier s))))))))))


AZIM_EXISTS

|- (!v. (!w. (!w1. (!w2. (?theta. (((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) theta) /\ (((real_lt theta) ((real_mul (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) pi)) /\ (?h1. (?h2. (!e1. (!e2. (!e3. (((((orthonormal e1) e2) e3) /\ ((((% (distance (w , v))) e3) = ((vector_sub w) v)) /\ (~ (w = v)))) ==> (?psi. (?r1. (?r2. ((((vector_sub w1) v) = ((vector_add ((% ((real_mul r1) (cos psi))) e1)) ((vector_add ((% ((real_mul r1) (sin psi))) e2)) ((% h1) ((vector_sub w) v))))) /\ ((((vector_sub w2) v) = ((vector_add ((% ((real_mul r2) (cos ((real_add psi) theta)))) e1)) ((vector_add ((% ((real_mul r2) (sin ((real_add psi) theta)))) e2)) ((% h2) ((vector_sub w) v))))) /\ (((~ (collinear (v INSERT (w INSERT (w1 INSERT EMPTY))))) ==> ((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) r1)) /\ ((~ (collinear (v INSERT (w INSERT (w2 INSERT EMPTY))))) ==> ((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) r2)))))))))))))))))))))


ITERATE_EQ_GENERAL_INVERSES

|- (!op. ((monoidal op) ==> (!s. (!t. (!f. (!g. (!h. (!k. (((!y. ((y IN t) ==> (((k y) IN s) /\ ((h (k y)) = y)))) /\ (!x. ((x IN s) ==> (((h x) IN t) /\ (((k (h x)) = x) /\ ((g (h x)) = (f x))))))) ==> ((((iterate op) s) f) = (((iterate op) t) g)))))))))))


List_hypermap.fst_n_list_ext_power

|- (!x. (!y. (!L. (!n. (((good_list L) /\ ((x , y) IN (darts_of_list L))) ==> ((FST (((POWER (n_list_ext L)) n) (x , y))) = x))))))


CROSS_RMUL

|- (!c. (!x. (!y. (((cross x) ((% c) y)) = ((% c) ((cross x) y))))))


Ssrnat.iter

|- (((((iter (SUC n)) f) x) = (f (((iter n) f) x))) /\ ((((iter (NUMERAL _0)) f) x) = x))


LIFT_IN_IMAGE_LIFT

|- (!x. (!s. (((lift x) IN ((IMAGE lift) s)) = (x IN s))))


Ssrnat.half0

|- ((half (NUMERAL _0)) = (NUMERAL _0))


Trigonometry.CFXEKKP1

|- ((cos ((real_div pi) (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))) = (real_of_num (NUMERAL _0)))


Hypermap_iso.ext_dart_eq_inv_contracted_dart

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> (!d. ((d IN (dart_of_fan (V , E))) ==> (((ext_dart (V , E)) d) = (((res_inv contracted_dart) (d_fan ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E)))) d)))))))


CONTINUOUS_ON_UPPERHALF_ARG

|- ((continuous_on (Cx o Arg)) ((GSPEC (\GEN%PVAR%4840. (?z. (((SETSPEC GEN%PVAR%4840) ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) (Im z))) z)))) DIFF ((Cx (real_of_num (NUMERAL _0))) INSERT EMPTY)))


Packing3.BARV_INITIAL_SUBLIST

|- (!V. (!k. (!ul. (!vl. (((((barV V) k) ul) /\ (((initial_sublist vl) ul) /\ ((NUMERAL _0) < (LENGTH vl)))) ==> (((barV V) ((LENGTH vl) - (NUMERAL (BIT1 _0)))) vl))))))


INT_OF_NUM_LE

|- (!m. (!n. (((int_le (int_of_num m)) (int_of_num n)) = (m <= n))))


REAL_LEBESGUE_MEASURABLE_COUNTABLE_INTERS

|- (!f. (((COUNTABLE f) /\ (!s. ((s IN f) ==> (real_lebesgue_measurable s)))) ==> (real_lebesgue_measurable (INTERS f))))


Lp_ineqs_proofs.ys_eq

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> ((fully_surrounded (V , E)) ==> ((packing V) ==> ((V SUBSET ball_annulus) ==> (!v. (!w. (((v , w) IN (dart_of_fan (V , E))) ==> (((y1_fan (v , w)) = (vector_norm v)) /\ (((y2_fan (v , w)) = (vector_norm w)) /\ ((((y3_fan (V , E)) (v , w)) = (vector_norm (((((sigma_fan (vec (NUMERAL _0))) V) E) v) w))) /\ ((((y4'_fan (V , E)) (v , w)) = (distance (w , (((((sigma_fan (vec (NUMERAL _0))) V) E) v) w)))) /\ ((((y5_fan (V , E)) (v , w)) = (distance (v , (((((sigma_fan (vec (NUMERAL _0))) V) E) v) w)))) /\ ((y6_fan (v , w)) = (distance (v , w)))))))))))))))))


Trigonometry2.POW2_1

|- (((real_pow (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))) = (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0))))


eventually

|- (!net. (!p. (((eventually p) net) = ((trivial_limit net) \/ (?y. ((?x. (((netord net) x) y)) /\ (!x. ((((netord net) x) y) ==> (p x)))))))))


VECTOR_MUL_LZERO

|- (!x. (((% (real_of_num (NUMERAL _0))) x) = (vec (NUMERAL _0))))


Seq.nth

|- (!x0. (!h. (!t. (!n. (((((nth x0) NIL) n) = x0) /\ (((((nth x0) ((CONS h) t)) (NUMERAL _0)) = h) /\ ((((nth x0) ((CONS h) t)) (SUC n)) = (((nth x0) t) n))))))))


Sphere.rad2_y

|- (rad2_y = (y_of_x rad2_x))


Hypermap_and_fan.COMPONENTS_HYPERMAP_OF_FAN

|- (!V. (!E. ((FAN ((vec (NUMERAL _0)) , (V , E))) ==> (((dart (hypermap_of_fan (V , E))) = (dart_of_fan (V , E))) /\ (((edge_map (hypermap_of_fan (V , E))) = (e_fan_pair_ext (V , E))) /\ (((node_map (hypermap_of_fan (V , E))) = (n_fan_pair_ext (V , E))) /\ ((face_map (hypermap_of_fan (V , E))) = (f_fan_pair_ext (V , E)))))))))


EVEN

|- (((EVEN (NUMERAL _0)) = T) /\ (!n. ((EVEN (SUC n)) = (~ (EVEN n)))))


POSITIVE_SEMIDEFINITE_DIAGONAL_INEQUALITY

|- (!A. (!i. (!j. (((positive_semidefinite A) /\ (((NUMERAL (BIT1 _0)) <= i) /\ ((i <= (dimindex UNIV)) /\ (((NUMERAL (BIT1 _0)) <= j) /\ (j <= (dimindex UNIV)))))) ==> ((real_le ((real_pow ((A $ i) $ j)) (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0))))) ((real_mul ((A $ i) $ i)) ((A $ j) $ j)))))))


int_of_num_th

|- (!n. ((real_of_int (int_of_num n)) = (real_of_num n)))


MATRIX_INV_MUL_INNER

|- (!A. (((matrix_mul A) ((matrix_mul (matrix_inv A)) A)) = A))


CSQRT_UNIQUE

|- (!s. (!z. (((((complex_pow s) (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))) = z) /\ (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) (Re s)) \/ (((Re s) = (real_of_num (NUMERAL _0))) /\ ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) (Im s))))) ==> ((csqrt z) = s))))


REAL_ADD

|- (!w. (!z. (((real w) /\ (real z)) ==> (real ((vector_add w) z)))))


CARD_INTSEG_INT

|- (!a. (!b. (((integer a) /\ (integer b)) ==> ((CARD (GSPEC (\GEN%PVAR%85. (?x. (((SETSPEC GEN%PVAR%85) ((integer x) /\ (((real_le a) x) /\ ((real_le x) b)))) x))))) = (((COND ((real_lt b) a)) (NUMERAL _0)) (num_of_int (int_of_real ((real_add ((real_sub b) a)) (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))))))))))


INCREASING_BOUNDED_VARIATION

|- (!f. (!a. (!b. ((!x. (!y. (((x IN (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL))) /\ ((y IN (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL))) /\ ((real_le (drop x)) (drop y)))) ==> ((real_le (drop (f x))) (drop (f y)))))) ==> ((has_bounded_variation_on f) (closed_interval ((CONS (a , b)) NIL)))))))


real_ge

|- (!y. (!x. (((real_ge x) y) = ((real_le y) x))))


Hypermap.orbit_one_point

|- (!f. (!x. (((f x) = x) = (((orbit_map f) x) = (x INSERT EMPTY)))))


num_INDUCTION

|- (!P. (((P (NUMERAL _0)) /\ (!n. ((P n) ==> (P (SUC n))))) ==> (!n. (P n))))


RPOW_SQRT

|- (!x. (((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) x) ==> (((rpow x) ((real_div (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) (real_of_num (NUMERAL (BIT0 (BIT1 _0)))))) = (sqrt x))))


COUNTABLE_INSERT

|- (!x. (!s. ((COUNTABLE (x INSERT s)) = (COUNTABLE s))))


REAL_LE_LT

|- (!x. (!y. (((real_le x) y) = (((real_lt x) y) \/ (x = y)))))


REAL_LT_BETWEEN

|- (!a. (!b. (((real_lt a) b) = (?x. (((real_lt a) x) /\ ((real_lt x) b))))))


REAL_ABS_SUB

|- (!x. (!y. ((real_abs ((real_sub x) y)) = (real_abs ((real_sub y) x)))))


Tame_defs2.sub1

|- (!n. (!xs. ((sub1 (xs , n)) = ((EL n) xs))))


CONTINUOUS_COMPLEX_POW

|- (!net. (!f. (!n. (((continuous f) net) ==> ((continuous (\x. ((complex_pow (f x)) n))) net)))))


EXTENSION

|- (!s. (!t. ((s = t) = (!x. ((x IN s) = (x IN t))))))


holomorphic_on

|- (!f. (!s. (((holomorphic_on f) s) = (!x. ((x IN s) ==> (?f'. (((has_complex_derivative f) f') ((within (at x)) s))))))))


Planarity.DARTSET_LEADS_INTO_FAN

|- (!x. (!V. (!E. (!ds. (((FAN (x , (V , E))) /\ ((!v. ((v IN V) ==> ((CARD (((set_of_edge v) V) E)) > (NUMERAL (BIT1 _0))))) /\ ((fan80 (x , (V , E))) /\ (ds IN (face_set (hypermap1_of_fanx (x , (V , E)))))))) ==> (!y. ((y IN ds) ==> (((((dartset_leads_into_fan x) V) E) ds) = (((((dart_leads_into x) V) E) (pr2 y)) (pr3 y))))))))))


Bump.MCELL_PARAM_UL

|- (!V. (!ul. (!vl. (!X. (!k. (((k <= (NUMERAL (BIT0 (BIT0 (BIT1 _0))))) /\ ((packing V) /\ ((saturated V) /\ ((X = (((mcell k) V) ul)) /\ ((ul IN ((barV V) (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))) /\ ((~ (negligible X)) /\ (vl = (SND ((cell_params V) X))))))))) ==> ((X = (((mcell k) V) vl)) /\ (vl IN ((barV V) (NUMERAL (BIT1 (BIT1 _0))))))))))))


Lp_gen_theory.mem_list_dart_pairs

|- (!L. (!p. (((MEM p) (list_dart_pairs L)) = (((MEM (FST p)) (list_of_darts L)) /\ ((MEM (SND p)) (list_of_darts L))))))


COMPLEX_POW_MUL

|- (!x. (!y. (!n. (((complex_pow ((complex_mul x) y)) n) = ((complex_mul ((complex_pow x) n)) ((complex_pow y) n))))))


VSUM_EQ

|- (!f. (!g. (!s. ((!x. ((x IN s) ==> ((f x) = (g x)))) ==> (((vsum s) f) = ((vsum s) g))))))


CLOSED_HALFSPACE_COMPONENT_GE

|- (!a. (!k. (closed (GSPEC (\GEN%PVAR%775. (?x. (((SETSPEC GEN%PVAR%775) ((real_ge (x $ k)) a)) x)))))))


CLOSED_IN_INJECTIVE_LINEAR_IMAGE

|- (!f. (!s. (!t. (((linear f) /\ (!x. (!y. (((f x) = (f y)) ==> (x = y))))) ==> (((closed_in ((subtopology euclidean) ((IMAGE f) t))) ((IMAGE f) s)) = ((closed_in ((subtopology euclidean) t)) s))))))


COLLINEAR_LEMMA_ALT

|- (!x. (!y. ((collinear ((vec (NUMERAL _0)) INSERT (x INSERT (y INSERT EMPTY)))) = ((x = (vec (NUMERAL _0))) \/ (?c. (y = ((% c) x)))))))


CLOSED_IN_SING

|- (!u. (!x. (((closed_in ((subtopology euclidean) u)) (x INSERT EMPTY)) = (x IN u))))


Lp_ineqs_def.rhazim_fan

|- (!V. (!E. (!x. (((rhazim_fan (V , E)) x) = ((real_mul (real_abs ((real_add (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) ((real_mul const1) ((real_sub (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) (lmfun (h_dart x))))))) ((azim_dart (V , E)) x))))))


NPRODUCT_CONST

|- (!c. (!s. ((FINITE s) ==> (((nproduct s) (\x. c)) = (c EXP (CARD s))))))


Seq.constant

|- (((constant NIL) = T) /\ ((constant ((CONS x) s')) = ((all (pred1 x)) s')))


LIM_TRANSFORM_WITHIN_SET_IMP

|- (!f. (!l. (!a. (!s. (!t. ((((eventually (\x. ((x IN t) ==> (x IN s)))) (at a)) /\ (((--> f) l) ((within (at a)) s))) ==> (((--> f) l) ((within (at a)) t))))))))


RSTC_TRANS

|- (!R. (!x. (!y. (!z. (((((RSTC R) x) y) /\ (((RSTC R) y) z)) ==> (((RSTC R) x) z))))))


CONIC_HULL_AS_IMAGE

|- (!s. (((hull conic) s) = ((IMAGE (\z. ((% (drop (fstcart z))) (sndcart z)))) ((GSPEC (\GEN%PVAR%1458. (?t. (((SETSPEC GEN%PVAR%1458) ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) (drop t))) t)))) PCROSS s))))


MTOPOLOGY_REAL_EUCLIDEAN_METRIC

|- ((mtopology real_euclidean_metric) = euclideanreal)


COMPONENTS_EQ_EMPTY

|- (!s. (((components s) = EMPTY) = (s = EMPTY)))


LOCALLY_COMPACT_TRANSLATION_EQ

|- (!a. (!s. (((locally compact) ((IMAGE (\x. ((vector_add a) x))) s)) = ((locally compact) s))))


REAL_LT_INV_EQ

|- (!x. (((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) (real_inv x)) = ((real_lt (real_of_num (NUMERAL _0))) x)))


DOT_POS_LE

|- (!x. ((real_le (real_of_num (NUMERAL _0))) ((dot x) x)))


AFFSIGN_ALT

|- ((((affsign sgn) s) t) = (GSPEC (\GEN%PVAR%5090. (?y. (((SETSPEC GEN%PVAR%5090) (?f. ((!w. ((w IN (s UNION t)) ==> ((w IN t) ==> (sgn (f w))))) /\ ((((sum (s UNION t)) f) = (real_of_num (NUMERAL (BIT1 _0)))) /\ (((vsum (s UNION t)) (\v. ((% (f v)) v))) = y))))) y)))))


POLYTOPE_LINEAR_IMAGE

|- (!f. (!p. (((linear f) /\ (polytope p)) ==> (polytope ((IMAGE f) p)))))


HAS_REAL_MEASURE_0

|- (!s. (((has_real_measure s) (real_of_num (NUMERAL _0))) = (real_negligible s)))


List_hypermap.face_set_k

|- (!H. (!k. (((face_set_k k) H) = (GSPEC (\GEN%PVAR%8596. (?f. (((SETSPEC GEN%PVAR%8596) ((f IN (face_set H)) /\ ((CARD f) = k))) f)))))))


LIM_NORM_LBOUND

|- (!net. (!f. (!l. (!b. (((~ (trivial_limit net)) /\ ((((--> f) l) net) /\ ((eventually (\x. ((real_le b) (vector_norm (f x))))) net))) ==> ((real_le b) (vector_norm l)))))))


REAL_SUMMABLE_FROM_ELSEWHERE

|- (!f. (!m. (!n. (((real_summable (from m)) f) ==> ((real_summable (from n)) f)))))


RE_CACS_BOUNDS

|- (!z. (((real_lt (real_neg pi)) (Re (cacs z))) /\ ((real_le (Re (cacs z))) pi)))


SPHERE_EQ_EMPTY

|- (!a. (!r. (((sphere (a , r)) = EMPTY) = ((real_lt r) (real_of_num (NUMERAL _0))))))