case refine_3
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op ≫ (structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) s =
    const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)
      (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


case refine_3
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ ((structureSheaf R).val.map (eqToHom ⋯).op) (((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s) =
    const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)
      (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


case refine_3
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1))) ⋯ =
    const R ((fun i => a i * h i ^ N) i) ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)
      (PrimeSpectrum.basicOpen ((fun i => h i ^ (N + 1)) i)) ⋯


case refine_3.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
a✝ : i ∈ t
⊢ a i * h i ^ (N + 1) = a i * h i ^ N * h i


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩


case a
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ (toBasicOpen R (h i * h j)) (IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩) =
    (toBasicOpen R (h i * h j)) (IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩)


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ const R (a i * h j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯ = ?m.162036

R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ?m.162036 = const R (h i * a j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯

R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j) })


case h.e'_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ const R (a i * h j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯ =
    ((structureSheaf R).val.map iDi.op) (const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯)

R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ((structureSheaf R).val.map iDj.op) (const R (a j) (h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h j)) ⋯) =
    const R (h i * a j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯


case h.e'_2.hv
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ∀ x ∈ D, h i ∈ x.asIdeal.primeCompl

case hv
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ∀ x ∈ D, h j ∈ x.asIdeal.primeCompl


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ const R (a i * h j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯ = ?m.162036


case h.e'_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ const R (a i * h j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯ =
    ((structureSheaf R).val.map iDj.op) (((structureSheaf R).val.map (iDh j).op) s)


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ((structureSheaf R).val.map iDj.op) (const R (a j) (h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h j)) ⋯) =
    const R (h i * a j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯


R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ const R (a j) (h j) D ?hv = const R (h i * a j) (h i * h j) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)) ⋯

case hv
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
i j : ι
D : Opens (PrimeSpectrum R) := PrimeSpectrum.basicOpen (h i * h j)
iDi : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h i) := homOfLE ⋯
iDj : D ⟶ PrimeSpectrum.basicOpen (h j) := homOfLE ⋯
⊢ ∀ x ∈ D, h j ∈ x.asIdeal.primeCompl


case h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
i j : ι
n : ℕ
hc :
  ↑⟨(fun x => (h i * h j) ^ x) n, ⋯⟩ * (↑⟨h i * h j, ⋯⟩ * (a i * h j)) =
    ↑⟨(fun x => (h i * h j) ^ x) n, ⋯⟩ * (↑⟨h i * h j, ⋯⟩ * (h i * a j))
⊢ a i * h j * (h i * h j) ^ (n + 1) = h i * a j * (h i * h j) ^ (n + 1)


case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : j ∈ t
⊢ (fun i => a i * h i ^ N) i * (fun i => h i ^ (N + 1)) j = (fun i => h i ^ (N + 1)) i * (fun i => a i * h i ^ N) j


case refine_2
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : j ∈ t
n_le_N : n (i, j) ≤ N
⊢ (fun i => a i * h i ^ N) i * (fun i => h i ^ (N + 1)) j = (fun i => h i ^ (N + 1)) i * (fun i => a i * h i ^ N) j


case refine_2.intro
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : j ∈ t
n_le_N : n (i, j) ≤ N
k : ℕ
hk : n (i, j) + k = N
⊢ (fun i => a i * h i ^ N) i * (fun i => h i ^ (N + 1)) j = (fun i => h i ^ (N + 1)) i * (fun i => a i * h i ^ N) j


case h.e'_3
R : Type u
inst✝ : CommRing R
U : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
s : ↑((structureSheaf R).val.obj { unop := U })
ι : Type u_1
t : Finset ι
a h : ι → R
iDh : (i : ι) → PrimeSpectrum.basicOpen (h i) ⟶ U
h_cover : U ≤ ⨆ i ∈ t, PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
hs : ∀ (i : ι), const R (a i) (h i) (PrimeSpectrum.basicOpen (h i)) ⋯ = ((structureSheaf R).val.map (iDh i).op) s
fractions_eq :
  ∀ (i j : ι),
    IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (a i * h j) ⟨h i * h j, ⋯⟩ =
      IsLocalization.mk' (Localization.Away (h i * h j)) (h i * a j) ⟨h i * h j, ⋯⟩
exists_power : ∀ (i j : ι), ∃ n, a i * h j * (h i * h j) ^ n = h i * a j * (h i * h j) ^ n
n : ι × ι → ℕ := fun p => ⋯.choose
n_spec : ∀ (p : ι × ι), a p.1 * h p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose = h p.1 * a p.2 * (h p.1 * h p.2) ^ ⋯.choose
N : ℕ := (t ×ˢ t).sup n
basic_opens_eq : ∀ (i : ι), PrimeSpectrum.basicOpen (h i ^ (N + 1)) = PrimeSpectrum.basicOpen (h i)
i : ι
hi : i ∈ t
j : ι
hj : j ∈ t
n_le_N : n (i, j) ≤ N
k : ℕ
hk : n (i, j) + k = N
⊢ h i ^ n (i, j) * h i ^ k * h i * (a j * (h j ^ n (i, j) * h j ^ k)) =
    h (i, j).1 * a (i, j).2 * (h (i, j).1 * h (i, j).2) ^ ⋯.choose * (h i * h j) ^ k


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ IsLieAbelian ↥↑(derivedSeriesOfIdeal R L k I) ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
⊢ derivedLengthOfIdeal R L I = k + 1 ↔ derivedSeriesOfIdeal R L (k + 1) I = ⊥ ∧ derivedSeriesOfIdeal R L k I ≠ ⊥


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
hs : ∀ (k₁ k₂ : ℕ), k₁ ≤ k₂ → k₁ ∈ s → k₂ ∈ s
⊢ sInf s = k + 1 ↔ k + 1 ∈ s ∧ k ∉ s


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : k₁ ∈ s
⊢ k₂ ∈ s


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : k₁ ∈ s
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ ⊥


R : Type u
L : Type v
M : Type w
L' : Type w₁
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
I✝ J : LieIdeal R L
f : L' →ₗ⁅R⁆ L
I : LieIdeal R L
k : ℕ
s : Set ℕ := {k | derivedSeriesOfIdeal R L k I = ⊥}
k₁ k₂ : ℕ
h₁₂ : k₁ ≤ k₂
h₁ : derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I = ⊥
⊢ derivedSeriesOfIdeal R L k₂ I ≤ derivedSeriesOfIdeal R L k₁ I


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.twoTorsionPolynomial.disc = 16 * W.Δ


α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemiring R
a b : R
m n : ℕ
ha : 0 ≤ a
hn : n ≠ 0
⊢ 1 < a ^ n ↔ 1 < a


s : String
p : Char → Bool
⊢ s.split p = List.map mk (List.splitOnP p s.data)


M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
h : a = 0
⊢ 0 ∈ s.centralizer


M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
ha0 : a ≠ 0
c : G₀
hc : c ∈ s
⊢ c * a⁻¹ = a⁻¹ * c


case intro.mk.intro
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M


case intro.mk.intro
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
hk' : I.lcs M k = ⊥
⊢ LieModule.IsNilpotent R L M


R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
⊢ I.lcs M k = ⊥


case intro.mk.intro.succ
R : Type u₁
L : Type u₂
L₂ : Type u₃
M : Type u₄
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
inst✝⁵ : LieRing L₂
inst✝⁴ : LieAlgebra R L₂
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
I : LieIdeal R L
x : L
hxI : Submodule.span R {x} ⊔ (lieIdealSubalgebra R L I).toSubmodule = ⊤
n : ℕ
hn : (toEnd R L M) x ^ n = 0
k : ℕ
hk : lowerCentralSeries R (↥↑I) M k = ⊥
hk' : I.lcs M k = ⊥
l : ℕ
ih : lowerCentralSeries R L M (l * n) ≤ I.lcs M l
⊢ lowerCentralSeries R L M ((l + 1) * n) ≤ I.lcs M (l + 1)


F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
ι : Sort u_5
S : ι → StarSubalgebra R A
x : A
⊢ x ∈ ⨅ i, S i ↔ ∀ (i : ι), x ∈ S i


α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semigroup β
f : α → β
x : α
y : FreeSemigroup α
⊢ (lift f) (of x * y) = f x * (lift f) y


R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
⊢ (∀ n > 3, P.toPoly.coeff n = 0) ∧
    P.toPoly.coeff 3 = P.a ∧ P.toPoly.coeff 2 = P.b ∧ P.toPoly.coeff 1 = P.c ∧ P.toPoly.coeff 0 = P.d


R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ ((((if n = 3 then P.a else 0) + if n = 2 then P.b else 0) + if n = 1 then P.c else 0) + if n = 0 then P.d else 0) = 0


R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
n : ℕ
hn : 3 < n
⊢ (0 + 0 + 0 + if n = 0 then P.d else 0) = 0


M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : Mul N
inst✝ : Mul P
S : Subsemigroup M
⊢ ↑(⊥.prod ⊥) = ↑⊥


C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ h₁.π ≫ h₁.homologyIso.inv ≫ homologyMap φ ≫ h₂.homologyIso.hom ≫ h₂.ι = h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p


C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
inst✝² : S.HasHomology
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ h₁.π ≫
      (leftHomologyMap' (𝟙 S₁) h₁ S₁.leftHomologyData ≫
          leftHomologyMap' (𝟙 S₁) S₁.leftHomologyData S₁.homologyData.left) ≫
        leftHomologyMap' φ S₁.homologyData.left S₂.homologyData.left ≫
          ((S₂.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.homologyData.right S₂.rightHomologyData) ≫
              rightHomologyMap' (𝟙 S₂) S₂.rightHomologyData h₂) ≫
            h₂.ι =
    h₁.i ≫ φ.τ₂ ≫ h₂.p


case succ
n : ℕ
IH : ack 3 n = 2 ^ (n + 3) - 3
⊢ ack 3 (n + 1) = 2 ^ (n + 1 + 3) - 3


case succ
n : ℕ
IH : ack 3 n = 2 ^ (n + 3) - 3
H : 2 * 3 ≤ 2 * 2 ^ 3
⊢ 2 * 2 ^ 3 ≤ 2 * 2 ^ (n + 3)


case succ
n : ℕ
IH : ack 3 n = 2 ^ (n + 3) - 3
H : 2 * 3 ≤ 2 * 2 ^ 3
⊢ 2 ^ 3 ≤ 2 ^ (n + 3)


C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f
⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁ = 0


case a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
this : Mono S.f
⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₁.d j k)) x₁) = ((forget₂ C Ab).map (S.f.f k)) 0


C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (hS.δ i j hij)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃)) =
    ((forget₂ C Ab).map (S.X₁.homologyπ j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯)


case refine_1
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.opcyclesMap S.g i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂) =
    ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyι i)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₃.homologyπ i)) (S.X₃.cyclesMk x₃ j ⋯ hx₃))


case refine_2
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.cyclesMap S.f j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯) =
    ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂)


case refine_2.a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.iCycles j))
      (((forget₂ C Ab).map (HomologicalComplex.cyclesMap S.f j)) (S.X₁.cyclesMk x₁ k hk ⋯)) =
    ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.iCycles j))
      (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂))


case refine_2.a
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
inst✝⁴ : ConcreteCategory C
inst✝³ : HasForget₂ C Ab
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : (forget₂ C Ab).Additive
inst✝ : (forget₂ C Ab).PreservesHomology
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
S : ShortComplex (HomologicalComplex C c)
hS : S.ShortExact
i j : ι
hij : c.Rel i j
x₃ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₃.X i))
hx₃ : ((forget₂ C Ab).map (S.X₃.d i j)) x₃ = 0
x₂ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₂.X i))
hx₂ : ((forget₂ C Ab).map (S.g.f i)) x₂ = x₃
x₁ : ↑((forget₂ C Ab).obj (S.X₁.X j))
hx₁ : ((forget₂ C Ab).map (S.f.f j)) x₁ = ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂
k : ι
hk : c.next j = k
⊢ ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.d i j)) x₂ =
    ((forget₂ C Ab).map (S.X₂.iCycles j))
      (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.opcyclesToCycles i j)) (((forget₂ C Ab).map (S.X₂.pOpcycles i)) x₂))


ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
n : ℕ
⊢ M ^ n = span R (↑M ^ n)


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.L₀X₂ToP ≫ S.φ₁ = 0


F : Type u_1
R : Type u
A : Type v
B : Type w
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : NonUnitalNonAssocSemiring A
inst✝⁸ : Module R A
inst✝⁷ : IsScalarTower R A A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : NonUnitalNonAssocSemiring B
inst✝⁴ : Module R B
inst✝³ : IsScalarTower R B B
inst✝² : SMulCommClass R B B
inst✝¹ : FunLike F A B
inst✝ : NonUnitalAlgHomClass F R A B
S : Set (NonUnitalSubalgebra R A)
x : A
⊢ x ∈ sInf S ↔ ∀ p ∈ S, x ∈ p


K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux (stRun o q) v S) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal (stRun o q)) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


case intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K),
    ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.384010 (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct ?m.384009 o) ?m.384010 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux ?m.384009 (stVar ?m.384010 (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.384010 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


case intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K),
    ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite ?m.384010 (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct ?m.384009 o) ?m.384010 ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux ?m.384009 (stVar ?m.384010 (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite ?m.384010 (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this :
  Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    (TM1.stepAux (tr M (go k o q)) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))))
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this :
  Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    (match
      match none with
      | some val => false
      | none => true with
    | true =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
        ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
    | false =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v
        (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))
c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
gc : TrCfg (TM2.stepAux q ?m.387675 (update S k (stWrite v (S k) o))) c
rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) ?m.387675 (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
⊢ ∃ b,
    TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) b ∧
      Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b


case intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
inst✝² : DecidableEq K
Γ : K → Type u_2
Λ : Type u_3
inst✝¹ : Inhabited Λ
σ : Type u_4
inst✝ : Inhabited σ
M : Λ → Stmt₂
q : Stmt₂
v : σ
T : ListBlank ((i : K) → Option (Γ i))
k : K
S : (k : K) → List (Γ k)
hT : ∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse
o : StAct k
IH :
  ∀ {v : σ} {S : (k : K) → List (Γ k)} {T : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))},
    (∀ (k : K), ListBlank.map (proj k) T = ListBlank.mk (List.map some (S k)).reverse) →
      ∃ b,
        TrCfg (TM2.stepAux q v S) b ∧
          Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) v (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) b
hgo :
  Reaches₀ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    { l := some (go k o q), var := v, Tape := (Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)) }
T' : ListBlank ((k : K) → Option (Γ k))
hT' :
  ∀ (k_1 : K), ListBlank.map (proj k_1) T' = ListBlank.mk (List.map some (update S k (stWrite v (S k) o) k_1)).reverse
hrun :
  TM1.stepAux (trStAct (goto fun x x => ret q) o) v ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T))) =
    TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
      ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
this :
  Reaches₁ (TM1.step (tr M)) { l := some (go k o q), var := v, Tape := Tape.mk' ∅ (addBottom T) }
    (match
      match none with
      | some val => false
      | none => true with
    | true =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => ret q) (stVar v (S k) o)
        ((Tape.move Dir.right)^[(update S k (stWrite v (S k) o) k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T')))
    | false =>
      TM1.stepAux (goto fun x x => go k o q) v
        (Tape.move Dir.right ((Tape.move Dir.right)^[(S k).length] (Tape.mk' ∅ (addBottom T)))))
c : TM1.Cfg Γ' Λ' σ
gc : TrCfg (TM2.stepAux q (stVar v (S k) o) (update S k (stWrite v (S k) o))) c
rc : Reaches (TM1.step (tr M)) (TM1.stepAux (trNormal q) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c
⊢ ReflTransGen (fun a b => b ∈ TM1.step (tr M) a)
    (TM1.stepAux (tr M (ret q)) (stVar v (S k) o) (Tape.mk' ∅ (addBottom T'))) c


l m r : List Char
c : Char
x✝ : Substring
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.contains c = true ↔ c ∈ m


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ rightHomologyMap' (-φ) h₁ h₂ = -rightHomologyMap' φ h₁ h₂


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝ : AddCommMonoid R
s : Multiset (Tropical R)
⊢ ∀ (a : List (Tropical R)), untrop (prod ⟦a⟧) = (map untrop ⟦a⟧).sum


R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n✝ m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
s s' : σ
n : ℕ
⊢ coeff (Finsupp.single s' n) (X s) = if n = 1 ∧ s = s' then 1 else 0


case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ Disjoint I (sSup ({I | IsAtom I} \ {I}))


case refine_2
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ sSup ({I | IsAtom I} \ {I}) ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


case refine_2.a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
⊢ ∀ b ∈ {I | IsAtom I} \ {I}, b ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


case refine_2.a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
⊢ J ≤ orthogonal Φ hΦ_inv I


case refine_2.a.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
⊢ ⁅↑x, ↑y⁆ ∈ ↑(orthogonal Φ hΦ_inv I)


case refine_2.a.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ (Φ ⁅↑x, z⁆) ↑y = 0


case refine_2.a.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ ⁅↑x, z⁆ = 0


case refine_2.a.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ J ⊓ I


case refine_2.a.intro.intro.a
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
⊢ ⁅↑x, z⁆ ∈ ⁅J, I⁆


case refine_1
K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
⊢ sSup {I | IsAtom I} = ⊤


K : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra K L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module K M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : Module.Finite K L
Φ : LinearMap.BilinForm K L
hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate
hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ
hΦ_refl : Φ.IsRefl
hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I
I : LieIdeal K L
hI : I ∈ {I | IsAtom I}
J : LieIdeal K L
hJ : IsAtom J
hJI : ¬J = I
x : ↥J
y : ↥J
z : L
hz : z ∈ I
this : ⁅↑x, z⁆ = 0
⊢ (Φ ⁅↑x, z⁆) ↑y = 0


α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y) = x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m


case a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ MulOpposite.op ((∑ i ∈ Ico m n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (x - y)) = MulOpposite.op (x ^ n - y ^ (n - m) * x ^ m)


case a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ x_1 ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - x_1) * MulOpposite.op x ^ x_1 =
    MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)


case a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
this :
  ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k =
    ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)
⊢ (MulOpposite.op x - MulOpposite.op y) * ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) =
    MulOpposite.op x ^ n - MulOpposite.op x ^ m * MulOpposite.op y ^ (n - m)


α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k =
    ∑ k ∈ Ico m n, MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)


α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
k : ℕ
x✝ : k ∈ Ico m n
⊢ MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)


α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
k : ℕ
x✝ : k ∈ Ico m n
hp : Commute (MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)) (MulOpposite.op x ^ k)
⊢ MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k) * MulOpposite.op x ^ k = MulOpposite.op x ^ k * MulOpposite.op y ^ (n - 1 - k)


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ {a, b}), f i = f a * f b


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ a ∉ {b}

case hs
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
h : a ≠ b
⊢ {b}.Finite


α : Type u_1
s✝ : Heap α
le : α → α → Bool
r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
⊢ Option.map (fun x => x.fst) (deleteMin le (cons r a c s)) = head? le (cons r a c s)


case h.h.h.h
α : Type u_2
f : Type u_1
n : α → f → α
l : α
⊢ scanl n l = scanlTR n l


R : Type u
inst✝⁴ : Ring R
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : Nonempty ι
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : (i : ι) → Field (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i → G j
f' : (i j : ι) → i ≤ j → G i →+* G j
p : Ring.DirectLimit G f
hp : p ≠ 0
⊢ inv G f p * p = 1


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.224677, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
this : Mono S.fromOpcycles
⊢ S.g ≫ hS.descToInjective f hf = f


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.224677, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
J : C
f : S.X₂ ⟶ J
inst✝ : Injective J
hf : S.f ≫ f = 0
this : Mono S.fromOpcycles
⊢ S.g ≫ Injective.factorThru (S.descOpcycles f hf) S.fromOpcycles = f


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
t : Finset γ
f : α ⊕ γ → β
⊢ ∏ x ∈ s.disjSum t, f x = (∏ x ∈ s, f (Sum.inl x)) * ∏ x ∈ t, f (Sum.inr x)


S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : CommRing R
r x y z : R
a b c : ℍ[R]
⊢ normSq ↑x = x ^ 2


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hst : Disjoint s t
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
⊢ W'.addY P (W'.neg P) = -W'.dblZ P ^ 3


case h.h
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ x ∈ ↑((Spec R).basicOpen ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen f)


case h.h
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ IsUnit (((Spec R).presheaf.germ ⟨x, _root_.trivial⟩) ((Scheme.ΓSpecIso R).inv f)) ↔ x ∈ PrimeSpectrum.basicOpen f


case h.h
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ IsUnit ((StructureSheaf.toStalk (↑R) x) f) ↔ f ∉ x.asIdeal


case h.h
R : CommRingCat
f : ↑R
x : ↑↑(Spec R).toPresheafedSpace
⊢ IsUnit ((algebraMap (↑R) (Localization.AtPrime x.asIdeal)) f) ↔ f ∉ x.asIdeal


case refine_1
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : BEq α
inst✝² : Hashable α
buckets : Buckets α β
i : USize
d : AssocList α β
h : i.toNat < buckets.val.size
H : buckets.WF
h₁ :
  ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],
    List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i].toList →
      List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList
h₂ :
  AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i.toNat) buckets.val[i] →
    AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i.toNat) d
inst✝¹ : LawfulHashable α
inst✝ : PartialEquivBEq α
l : AssocList α β
hl : l ∈ (buckets.update i d h).val.data
⊢ List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) l.toList


case refine_2
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
buckets : Buckets α β
i✝ : USize
d : AssocList α β
h : i✝.toNat < buckets.val.size
H : buckets.WF
h₁ :
  ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],
    List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i✝].toList →
      List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList
h₂ :
  AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) buckets.val[i✝] →
    AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) d
i : Nat
hi : i < (buckets.update i✝ d h).val.size
p : α × β
⊢ p ∈ (buckets.update i✝ d h).val[i].toList →
    (fun k x => ((hash k).toUSize % (buckets.update i✝ d h).val.size).toNat = i) p.fst p.snd


case refine_2.isFalse
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : Hashable α
buckets : Buckets α β
i✝ : USize
d : AssocList α β
h : i✝.toNat < buckets.val.size
H : buckets.WF
h₁ :
  ∀ [inst : PartialEquivBEq α] [inst : LawfulHashable α],
    List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) buckets.val[i✝].toList →
      List.Pairwise (fun a b => ¬(a.fst == b.fst) = true) d.toList
h₂ :
  AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) buckets.val[i✝] →
    AssocList.All (fun k x => ((hash k).toUSize % buckets.val.size).toNat = i✝.toNat) d
i : Nat
hi : i < (buckets.update i✝ d h).val.size
p : α × β
h✝ : ¬i✝.toNat = i
hp : p ∈ buckets.val.data[i].toList
⊢ ((hash p.fst).toUSize % buckets.val.size).toNat = i


α : Type u_1
c : RBColor
n : Nat
cmp : α → α → Ordering
p : Path α
v : α
t : RBNode α
ht : t.Balanced c n
e : zoom (cmp v) t = (nil, p)
⊢ t.toList = p.listL ++ p.listR ∧ (insert cmp t v).toList = p.listL ++ v :: p.listR


ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n : A
s : Set A
⊢ span R s ^ 0 = span R (s ^ 0)


ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n✝ : A
s : Set A
n : ℕ
⊢ span R s ^ (n + 1) = span R (s ^ (n + 1))


case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g✝ : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Monoid β
g : α → β
l : List (α → β)
ih : (∀ f ∈ l, Periodic f c) → Periodic l.prod c
hl : ∀ f ∈ g :: l, Periodic f c
⊢ Periodic (g :: l).prod c


case cons
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g✝ : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : Add α
inst✝ : Monoid β
g : α → β
l : List (α → β)
ih : (∀ f ∈ l, Periodic f c) → Periodic l.prod c
hl : Periodic g c ∧ ∀ x ∈ l, Periodic x c
⊢ Periodic (g :: l).prod c


R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
F : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L
⊢ (lift R) (⇑F ∘ of R) = F


R : Type u
X : Type v
inst✝² : CommRing R
L : Type w
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
F : FreeLieAlgebra R X →ₗ⁅R⁆ L
⊢ (lift R) ((lift R).symm F) = F


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (addLeftEmbedding c) (Ioc a b) = Ioc (c + a) (c + b)


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ ⇑(addLeftEmbedding c) '' Set.Ioc a b = Set.Ioc (c + a) (c + b)


C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ (K.cyclesIsoSc' i j k hi hk).hom ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j


C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
i j k : ι
hi : c.prev j = i
hk : c.next j = k
inst✝¹ : K.HasHomology j
inst✝ : (K.sc' i j k).HasHomology
⊢ ShortComplex.cyclesMap ((natIsoSc' C c i j k hi hk).hom.app K) ≫ (K.sc' i j k).iCycles = K.iCycles j


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
ι : Type u_1
inst✝ : DecidableEq ι
c : ComplexShape ι
j : ι
A B : C
f : A ⟶ B
⊢ opcyclesMap ((single C c j).map f) j ≫ (singleObjOpcyclesSelfIso c j B).inv = (singleObjOpcyclesSelfIso c j A).inv ≫ f


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ pullback.snd ≫ 𝒰.map i ≫ f = (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ≫ g


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
⊢ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i = pullback.fst


case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).map j ≫
      pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i =
    ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).map j ≫ pullback.fst


case h
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i =
    pullback.fst ≫ pullback.fst


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ (gluing 𝒰 f g).ι i =
    pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ fV 𝒰 f g j i ≫ (gluing 𝒰 f g).ι j


case e_a
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ =
    (pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ t 𝒰 f g j i) ≫ pullback.fst


case e_a.h₀
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ pullback.fst =
    pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ t 𝒰 f g j i ≫ pullback.fst ≫ pullback.fst


case e_a.h₁
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ pullback.fst ≫ pullback.lift pullback.snd (pullback.fst ≫ p2 𝒰 f g) ⋯ ≫ pullback.snd =
    pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ t 𝒰 f g j i ≫ pullback.fst ≫ pullback.snd


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ fV 𝒰 f g j i ≫ (gluing 𝒰 f g).ι j = pullback.fst ≫ pullback.fst


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
s : PullbackCone f g
i : 𝒰.J
j : ((gluing 𝒰 f g).openCover.pullbackCover pullback.fst).J
⊢ (pullbackFstιToV 𝒰 f g i j ≫ fV 𝒰 f g j i) ≫ (gluing 𝒰 f g).ι j = pullback.snd ≫ (gluing 𝒰 f g).openCover.map j


case mk.mk
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
X₁ : ι → V
d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0
h₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0
d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0
h₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0
h_d :
  ∀ (i j : ι),
    c.Rel i j →
      { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ =
        eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j
⊢ { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ } = { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }


case pos
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} V
inst✝ : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
X₁ : ι → V
d₁ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₁ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₁ i j = 0
h₁ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₁ i j ≫ d₁ j k = 0
d₂ : (i j : ι) → X₁ i ⟶ X₁ j
s₂ : ∀ (i j : ι), ¬c.Rel i j → d₂ i j = 0
h₂ : ∀ (i j k : ι), c.Rel i j → c.Rel j k → d₂ i j ≫ d₂ j k = 0
h_d :
  ∀ (i j : ι),
    c.Rel i j →
      { X := X₁, d := d₁, shape := s₁, d_comp_d' := h₁ }.d i j ≫ eqToHom ⋯ =
        eqToHom ⋯ ≫ { X := X₁, d := d₂, shape := s₂, d_comp_d' := h₂ }.d i j
i j : ι
hij : c.Rel i j
⊢ d₁ i j = d₂ i j


case component_integral
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)


case component_integral
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this : ∃ x y, x ≠ y
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)


case component_integral
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this✝ : ∃ x y, x ≠ y
this : NoZeroDivisors ↑Γ(X, U)
⊢ IsDomain ↑Γ(X, U)


X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this : ∃ x y, x ≠ y
a b : ↑Γ(X, U)
e : a * b = 0
⊢ a = 0 ∨ b = 0


X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this : ∃ x y, x ≠ y
a b : ↑Γ(X, U)
e : a * b = 0
h : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty
⊢ False


case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this : ∃ x y, x ≠ y
a b : ↑Γ(X, U)
e : a * b = 0
h : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty
x✝ : ↥U
hx₁ : x✝ ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) a)}
x : ↥U
hx₂ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) b)}
e' : ↑x = ↑x✝
⊢ False


case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this : ∃ x y, x ≠ y
a b : ↑Γ(X, U)
h : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty
x : ↥U
hx₂ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) b)}
hx₁ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) a)}
e : (X.presheaf.germ x) (a * b) = (X.presheaf.germ x) 0
⊢ False


case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Scheme
inst✝ : IsReduced X
H : IrreducibleSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : Nonempty ↥U
this : ∃ x y, x ≠ y
a b : ↑Γ(X, U)
h : (↑(X.basicOpen a)).Nonempty ∧ (↑(X.basicOpen b)).Nonempty
x : ↥U
hx₂ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) b)}
hx₁ : x ∈ {x | IsUnit ((X.toRingedSpace.presheaf.germ x) a)}
e : (X.presheaf.germ x) a * (X.presheaf.germ x) b = 0
⊢ False


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1


case intro
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z
⊢ ∃ x, p ^ k • x = 0 ∧ Submodule.Quotient.mk x = f 1


case intro
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z
⊢ Submodule.Quotient.mk (f1.choose - a • z) = f 1


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
⊢ p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}


case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
⊢ p ^ k • 1 = 0


case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
⊢ p ^ k • Submodule.Quotient.mk 1 = 0


case h.e'_2.h.e'_6
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
⊢ p ^ k ∈ Submodule.span R {p ^ k}


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : IsDomain R
inst✝⁴ : IsPrincipalIdealRing R
M : Type v
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
N : Type (max u v)
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : R
hp : Irreducible p
hM : IsTorsion' M ↥(Submonoid.powers p)
dec : (x : M) → Decidable (x = 0)
z : M
hz : IsTorsionBy R M (p ^ pOrder hM z)
k : ℕ
f : R ⧸ Submodule.span R {p ^ k} →ₗ[R] M ⧸ Submodule.span R {z}
f1 : ∃ a, Submodule.Quotient.mk a = f 1
this : p ^ k • f1.choose ∈ Submodule.span R {z}
a : R
ha : p ^ k • f1.choose = p ^ k • a • z
⊢ p ^ k • (f1.choose - a • z) = 0


R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ ((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom =
    (α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
      (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom


case H
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
      (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom) =
    (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
      ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
        (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)


case H.H
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
      ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
        (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) =
    (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
      ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
        ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
          (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom))


case H.H.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
        ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
          (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
      Finsupp.lsingle x =
    (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
        ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
          ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
            (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
      Finsupp.lsingle x


case H.H.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
          ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
            (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle x)
      1 =
    ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
          ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
            ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
              (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle x)
      1


case H.H.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
            ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
              (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
          Finsupp.lsingle x)
        1 ∘ₗ
      Finsupp.lsingle y =
    ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
            ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
              ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
                (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
          Finsupp.lsingle x)
        1 ∘ₗ
      Finsupp.lsingle y


case H.H.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
              ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
            Finsupp.lsingle x)
          1 ∘ₗ
        Finsupp.lsingle y)
      1 =
    (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
              ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
                  (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
            Finsupp.lsingle x)
          1 ∘ₗ
        Finsupp.lsingle y)
      1


case H.H.h.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
                ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                  (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
              Finsupp.lsingle x)
            1 ∘ₗ
          Finsupp.lsingle y)
        1 ∘ₗ
      Finsupp.lsingle z =
    (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
                ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                  ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
                    (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
              Finsupp.lsingle x)
            1 ∘ₗ
          Finsupp.lsingle y)
        1 ∘ₗ
      Finsupp.lsingle z


case H.H.h.h.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
                  ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                    (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
                Finsupp.lsingle x)
              1 ∘ₗ
            Finsupp.lsingle y)
          1 ∘ₗ
        Finsupp.lsingle z)
      1 =
    ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
                  ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                    ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
                      (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
                Finsupp.lsingle x)
              1 ∘ₗ
            Finsupp.lsingle y)
          1 ∘ₗ
        Finsupp.lsingle z)
      1


case H.H.h.h.h.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
a : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
                    ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                      (((μ R X Y).hom ⊗ 𝟙 ((free R).obj Z)) ≫ (μ R (X ⊗ Y) Z).hom ≫ map (free R).obj (α_ X Y Z).hom)) ∘ₗ
                  Finsupp.lsingle x)
                1 ∘ₗ
              Finsupp.lsingle y)
            1 ∘ₗ
          Finsupp.lsingle z)
        1)
      a =
    (((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj Y)).compr₂
                    ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X ⊗ (free R).obj Y) ↑((free R).obj Z)).compr₂
                      ((α_ ((free R).obj X) ((free R).obj Y) ((free R).obj Z)).hom ≫
                        (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ (μ R Y Z).hom) ≫ (μ R X (Y ⊗ Z)).hom)) ∘ₗ
                  Finsupp.lsingle x)
                1 ∘ₗ
              Finsupp.lsingle y)
            1 ∘ₗ
          Finsupp.lsingle z)
        1)
      a


case H.H.h.h.h.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y Z : Type u
x : X
y : Y
z : Z
a : X ⊗ Y ⊗ Z
⊢ (Finsupp.mapDomain (α_ X Y Z).hom
        ((finsuppTensorFinsupp' R (X ⊗ Y) Z)
          ((finsuppTensorFinsupp' R X Y) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single y 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1)))
      a =
    ((finsuppTensorFinsupp' R X (Y ⊗ Z))
        (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] (finsuppTensorFinsupp' R Y Z) (Finsupp.single y 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single z 1)))
      a


case intro
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
⊢ g ∈ C


case intro.intro
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e :
  c.eval = fun b =>
    bif decide ((fun c => c.eval ∈ C) (c, b).1) then (fun a b => g (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2
    else (fun a b => f (a, b).2) (c, b).1 (c, b).2
⊢ g ∈ C


case intro.intro
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b
⊢ g ∈ C


case pos
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b
H : c.eval ∈ C
⊢ g ∈ C


case neg
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
C : Set (ℕ →. ℕ)
f g : ℕ →. ℕ
hf : Nat.Partrec f
hg : Nat.Partrec g
fC : f ∈ C
w✝ : DecidablePred fun c => c.eval ∈ C
h : Computable fun a => decide ((fun c => c.eval ∈ C) a)
c : Code
e : c.eval = fun b => if c.eval ∈ C then g b else f b
H : c.eval ∉ C
⊢ g ∈ C


ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ (homology'Functor V c i).map f = (homology'Functor V c i).map g


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ homology'.π (C.dTo i) (C.dFrom i) ⋯ ≫
      (homology'.map ⋯ ⋯ (Hom.sqTo f i) (Hom.sqFrom f i) ⋯ - homology'.map ⋯ ⋯ (Hom.sqTo g i) (Hom.sqFrom g i) ⋯) =
    homology'.π (C.dTo i) (C.dFrom i) ⋯ ≫ 0


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ kernelSubobjectMap (Hom.sqFrom f i) ≫ homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ -
      kernelSubobjectMap (Hom.sqFrom g i) ≫ homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =
    0


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru
          ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ ((dNext i) h.hom + (prevD i) h.hom + g.f i)) ⋯ ≫
        homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ -
      (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ ≫
        homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =
    0


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru
          ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom + (kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ ≫
        homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ -
      (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ ≫
        homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =
    0


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ ((kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru
          ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom + (kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯ -
        (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ g.f i) ⋯) ≫
      homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =
    0


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ (kernelSubobject (D.dFrom i)).factorThru ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom) ⋯ ≫
      homology'.π (D.dTo i) (D.dFrom i) ⋯ =
    0


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ (D.boundaries i).Factors ((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (prevD i) h.hom)


case h.p
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} V
inst✝⁴ : Preadditive V
c : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c
f g : C ⟶ D
h✝ k : D ⟶ E
i✝ : ι
inst✝³ : HasEqualizers V
inst✝² : HasCokernels V
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasImageMaps V
h : Homotopy f g
i : ι
⊢ (D.boundaries i).Factors (((kernelSubobject (C.dFrom i)).arrow ≫ (toPrev i) h.hom) ≫ D.dTo i)


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f
g : α → M
⊢ (∏ᶠ (b : β), if h : b ∈ range f then g (Classical.choose h) else 1) = ∏ᶠ (a : α), g a


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f
g : α → M
⊢ ∏ᶠ (b : β) (h : b ∈ range f), g (Classical.choose h) = ∏ᶠ (a : α), g a


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
f✝ g✝ : α → M
a✝ b : α
s t : Set α
f : α → β
hf : Injective f
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ range f
g : α → M
a : α
⊢ (if h' : f a ∈ range f then g (Classical.choose h') else 1) = g a


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
⊢ AntitoneOn (fun x => x⁻¹) (Set.Icc a b)


case h.e'_5.h.h.e'_3
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
hb : b < 0
x✝ : α
⊢ x✝ = x✝ - 0


α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S✝ : Type u_4
inst✝¹ : Group G
inst✝ : AddGroup A
s : Set G
ι : Sort u_5
S : ι → Subgroup G
C : (x : G) → x ∈ ⨆ i, S i → Prop
hp : ∀ (i : ι) (x : G) (hx : x ∈ S i), C x ⋯
h1 : C 1 ⋯
hmul : ∀ (x y : G) (hx : x ∈ ⨆ i, S i) (hy : y ∈ ⨆ i, S i), C x hx → C y hy → C (x * y) ⋯
x : G
hx : x ∈ ⨆ i, S i
⊢ ∃ (h : x ∈ ⨆ i, S i), C x h


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b a : k
hb : 0 < b
⊢ a < b + ↑⌊a / b⌋ * b


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : FloorRing α
z : ℤ
a✝ : α
k : Type u_4
inst✝¹ : LinearOrderedField k
inst✝ : FloorRing k
b a : k
hb : 0 < b
⊢ a / b < ↑⌊a / b⌋ + 1


α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
s₂ s₁ s : Finset α
a✝ : α
g f✝ : α → M
a b : ℕ
hab : a ≤ b
f : ℕ → M
⊢ ∏ k ∈ Ioc a (b + 1), f k = (∏ k ∈ Ioc a b, f k) * f (b + 1)


C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ homologyMap (-φ) i = -homologyMap φ i


C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
c : ComplexShape ι
K L : HomologicalComplex C c
f g φ ψ : K ⟶ L
i : ι
inst✝¹ : K.HasHomology i
inst✝ : L.HasHomology i
⊢ ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map (-φ)) =
    -ShortComplex.homologyMap ((shortComplexFunctor C c i).map φ)


ι : Type u_1
I : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : I → Type u_6
x y : (i : I) → f✝ i
i : I
inst✝¹ : One γ
inst✝ : LE γ
f : α → β
g : α → γ
e : β → γ
hg : 1 ≤ g
he : 1 ≤ e
_b : β
⊢ 1 _b ≤ extend f g e _b


α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : LinearOrderedRing R
a b : R
n : ℕ
⊢ a ^ n = 1 ↔ n = 0 ∨ a = 1 ∨ a = -1 ∧ Even n


σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ (rename f) ((monomial d) r) = (monomial (Finsupp.mapDomain f d)) r


case h_zero
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ ∀ (b : τ), X b ^ 0 = 1


case h_add
σ : Type u_1
τ : Type u_2
α : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f : σ → τ
d : σ →₀ ℕ
r : R
⊢ ∀ (b : τ) (m₁ m₂ : ℕ), X b ^ (m₁ + m₂) = X b ^ m₁ * X b ^ m₂


R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
⊢ ↑(⨆ i, p i) = ⨆ i, ↑(p i)


case h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
ι : Sort u_1
p : ι → LieSubmodule R L M
x✝ : M
⊢ x✝ ∈ sSup {x | ∃ s ∈ range fun i => p i, ↑s = x} ↔ x✝ ∈ ⨆ i, ↑(p i)


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.Exact


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ Mono S.fromOpcycles


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.fromOpcycles ≫ hS.desc (CokernelCofork.ofπ S.pOpcycles ⋯) = 𝟙 S.opcycles


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.64470, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
S : ShortComplex C
hS : IsColimit (CokernelCofork.ofπ S.g ⋯)
inst✝ : S.HasHomology
⊢ S.g ≫ hS.desc (CokernelCofork.ofπ S.pOpcycles ⋯) = S.pOpcycles


cf cg : Code
⊢ encode cf < encode (cf.pair cg) ∧ encode cg < encode (cf.pair cg)


cf cg : Code
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧
    cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4


cf cg : Code
this : 1 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * 2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧
    cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4


cf cg : Code
this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧
    cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4


cf cg : Code
this✝ : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode ≤ 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode)
this : Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4
⊢ cf.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4 ∧
    cg.encodeCode < 2 * (2 * Nat.pair cf.encodeCode cg.encodeCode) + 4


C : Type u_1
inst✝² : Category.{?u.30003, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i
⊢ k ≫ K.d i j = 0


case pos
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
x : A ⟶ K.X (c.prev i)
hx : k = x ≫ K.d (c.prev i) i
h : c.Rel (c.prev i) i
⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ ≫ K.homologyπ i = 0


case neg
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i
h : ¬c.Rel i' i
⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ ≫ K.homologyπ i = 0


case neg
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i
h : ¬c.Rel i' i
this : K.liftCycles k j hj ⋯ = 0
⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ ≫ K.homologyπ i = 0


C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i
h : ¬c.Rel i' i
⊢ k ≫ K.d i j = 0


C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx : k = x ≫ K.d i' i
h : ¬c.Rel i' i
⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ = 0


C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
K L M : HomologicalComplex C c
φ : K ⟶ L
ψ : L ⟶ M
i j✝ k✝ : ι
inst✝ : K.HasHomology i
A : C
k : A ⟶ K.X i
j : ι
hj : c.next i = j
i' : ι
x : A ⟶ K.X i'
hx✝ : k = x ≫ K.d i' i
hx : k = 0
h : ¬c.Rel i' i
⊢ K.liftCycles k j hj ⋯ = 0


i : Nat
self : UnionFind
x : Fin self.size
h' : (self.arr.get x).parent = ↑x
⊢ parentD (self.findAux x).s i ≠ i → self.rank i < self.rank (parentD (self.findAux x).s i)


i : Nat
self : UnionFind
x : Fin self.size
h' : ¬(self.arr.get x).parent = ↑x
⊢ parentD (self.findAux x).s i ≠ i → self.rank i < self.rank (parentD (self.findAux x).s i)


case isTrue
self : UnionFind
x : Fin self.size
h'✝ : ¬(self.arr.get x).parent = ↑x
h' : self.rootD ↑x ≠ ↑x
⊢ self.rank ↑x < self.rank (self.rootD ↑x)


case isFalse
i : Nat
self : UnionFind
x : Fin self.size
h'✝ : ¬(self.arr.get x).parent = ↑x
h : ¬i = ↑x
h' : parentD (self.findAux ⟨(self.arr.get x).parent, ⋯⟩).s i ≠ i
⊢ self.rank i < self.rank (parentD (self.findAux ⟨(self.arr.get x).parent, ⋯⟩).s i)


R : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
X : Type u_2
A : Type u_3
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
f : X → A
⊢ FreeAlgebra.liftAux R f = (lift R) f


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
a : α
n : ℕ
⊢ 1 ≤ ⌈a⌉₊ ↔ 0 < a


R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
p : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hpV : p ∈ V.carrier
⊢ p ∈ ⇑(PrimeSpectrum.comap (RingHom.id R)) ⁻¹' U.carrier


R : Type u
inst✝² : CommRing R
S : Type u
inst✝¹ : CommRing S
P : Type u
inst✝ : CommRing P
U V : Opens ↑(PrimeSpectrum.Top R)
hUV : U = V
⊢ comap (RingHom.id R) U V ⋯ = eqToHom ⋯


R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.Φ 0 = 1


R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
k✝ : ℕ
N N₁ N₂ : LieSubmodule R L M
k : ℕ
⊢ lcs k N₁ ≤ N₂ ↔ N₁ ≤ ucs k N₂


l m r : List Char
p : Char → Bool
⊢ ValidFor l (List.takeWhile p m) (List.dropWhile p m ++ r)
    ({ str := { data := l ++ m ++ r }, startPos := { byteIdx := utf8Len l },
          stopPos := { byteIdx := utf8Len l + utf8Len m } }.takeWhile
      p)


case refine'_1
l m r : List Char
p : Char → Bool
⊢ m ++ r = List.takeWhile p m ++ (List.dropWhile p m ++ r)


ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)


ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : DivisionSemiring α
inst✝⁴ : NeZero 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
this : Invertible 2 := invertibleOfNonzero ⋯
⊢ x ⊓ y = 2⁻¹ • (x + y - |y - x|)