ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝² : Category.{u_4, u_3} C
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
K : HomologicalComplex C c
e : c.Embedding c'
⊢ IsZero (X K none)


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬b ≡ a [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIocMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
h₁₂₃ : toIcoMod hp a b ≤ toIcoMod hp a c
h₁₃₂ : toIcoMod hp a c ≤ toIcoMod hp a b
h : ¬a ≡ b [PMOD p] ∧ ¬c ≡ b [PMOD p] ∧ ¬a ≡ c [PMOD p]
⊢ False


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝ : Mono S.f
this : Epi S.g
⊢ (S.map F).ShortExact


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
inst✝³ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
hS : S.ShortExact
F : C ⥤ D
inst✝² : F.PreservesZeroMorphisms
inst✝¹ : PreservesFiniteLimits F
inst✝ : PreservesFiniteColimits F
this✝¹ : Mono S.f
this✝ : Epi S.g
this : Mono (F.map S.f)
⊢ (S.map F).ShortExact


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ W.Nonsingular ![X, Y, 1] ↔ W.toAffine.Nonsingular X Y


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
X Y : R
⊢ W.Equation ![X, Y, 1] ∧
      (W.a₁ * Y * 1 ≠ 3 * X ^ 2 + 2 * W.a₂ * X * 1 + W.a₄ * 1 ^ 2 ∨
        Y * 1 ≠ -Y * 1 - W.a₁ * X * 1 - W.a₃ * 1 ^ 2 ∨
          Y ^ 2 + W.a₁ * X * Y + 2 * W.a₃ * Y * 1 ≠ W.a₂ * X ^ 2 + 2 * W.a₄ * X * 1 + 3 * W.a₆ * 1 ^ 2) ↔
    W.toAffine.Nonsingular X Y


R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ (ρ_ ((free R).obj X)).hom = (𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom


case H
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom =
    (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂
      ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom)


case H.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x =
    (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂
        ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ
      Finsupp.lsingle x


case H.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 =
    ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂
          ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ
        Finsupp.lsingle x)
      1


case H.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x : X
⊢ (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1)
      1 =
    (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂
            ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ
          Finsupp.lsingle x)
        1)
      1


case H.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x x' : X
⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x)
          1)
        1)
      x' =
    ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂
              ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ
            Finsupp.lsingle x)
          1)
        1)
      x'


case H.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x x' : X
q : X →₀ R := (ρ_ (of R (X →₀ R))).hom (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] 1)
⊢ ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂ (ρ_ ((free R).obj X)).hom ∘ₗ Finsupp.lsingle x)
          1)
        1)
      x' =
    ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑(𝟙_ (ModuleCat R))).compr₂
              ((𝟙 ((free R).obj X) ⊗ ε R) ≫ (μ R X (𝟙_ (Type u))).hom ≫ map (free R).obj (ρ_ X).hom) ∘ₗ
            Finsupp.lsingle x)
          1)
        1)
      x'


case H.h.h.h.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : Type u
x x' : X
q : X →₀ R := (ρ_ (of R (X →₀ R))).hom (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] 1)
⊢ q x' =
    (Finsupp.mapDomain (ρ_ X).hom
        ((finsuppTensorFinsupp' R X (𝟙_ (Type u))) (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single PUnit.unit 1)))
      x'


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
h : x ∈ f a ∨ x ∈ g a
⊢ x ∈ k a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
h : x ∈ f a ∨ x ∈ g a
this : (k a).Dom
⊢ (k a).get this = x


case inl.inl
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ f a
h' : (k a).get this ∈ f a
⊢ (k a).get this = x


case inl.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ f a
h' : (k a).get this ∈ g a
⊢ (k a).get this = x


case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f g : α →. σ
hf : Partrec f
hg : Partrec g
H : ∀ (a : α), ∀ x ∈ f a, ∀ y ∈ g a, x = y
k : α →. σ
hk : Partrec k
K : ∀ (a : α), (∀ x ∈ k a, x ∈ f a ∨ x ∈ g a) ∧ ((k a).Dom ↔ (f a).Dom ∨ (g a).Dom)
a : α
x : σ
this : (k a).Dom
h : x ∈ g a
h' : (k a).get this ∈ g a
⊢ (k a).get this = x


case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
n : ℕ
hp : Prime (p ^ (n + 1))
⊢ n + 1 = 1


case succ
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
n : ℕ
hp : Prime (p ^ (n + 1))
⊢ n = 0


case succ.inl.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p : α
n : ℕ
hp : Prime p
hpn : IsUnit (p ^ n)
contra : ¬n = 0
⊢ False


G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
f : G ↪ H
mul : ∀ (x y : G), f (x * y) = f x * f y
⊢ UniqueMul (Finset.map f A) (Finset.map f B) (f a0) (f b0) ↔ UniqueMul A B a0 b0


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedSemiring α
inst✝ : FloorSemiring α
n : ℕ
ha : 0 ≤ 0
⊢ ⌊0⌋₊ = 0


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
⊢ deriv ε x = -x⁻¹ / log x ^ 2


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
x : ℝ
hx : 1 < x
this : log x ≠ 0
⊢ deriv (fun z => 1 / log z) x = -x⁻¹ / log x ^ 2


l mr lm r : List Char
e :
  lm ++ r =
    { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },
          stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.str.data
h :
  { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },
        stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.startPos ≤
    { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },
        stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }.stopPos
⊢ ∃ l_1 m r,
    ValidFor l_1 m r
      { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go l },
        stopPos := { byteIdx := utf8ByteSize.go lm } }


l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h : utf8Len l ≤ utf8Len lm
⊢ ∃ l_1 m r,
    ValidFor l_1 m r
      { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }


l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h : utf8Len l ≤ utf8Len lm
this : ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r
⊢ ∃ l_1 m r,
    ValidFor l_1 m r
      { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }

case x
l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h✝ : utf8Len l ≤ utf8Len lm
h : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr
⊢ ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r


l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h : utf8Len l ≤ utf8Len lm
this : ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r
⊢ ∃ l_1 m r,
    ValidFor l_1 m r
      { str := { data := l ++ mr }, startPos := { byteIdx := utf8Len l }, stopPos := { byteIdx := utf8Len lm } }


l mr lm r : List Char
e : lm ++ r = l ++ mr
h✝ : utf8Len l ≤ utf8Len lm
h : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr
⊢ ∃ c', lm = l ++ c' ∧ mr = c' ++ r


l mr lm r : List Char
h✝ : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr
m : List Char
e : lm ++ (m ++ mr) = lm ++ m ++ mr
h : utf8Len (lm ++ m) ≤ utf8Len lm
⊢ ∃ c', lm = lm ++ m ++ c' ∧ mr = c' ++ (m ++ mr)


l mr lm r : List Char
h✝ : ∃ a', l = lm ++ a' ∧ r = a' ++ mr
m : List Char
e : lm ++ (m ++ mr) = lm ++ m ++ mr
h : utf8Len lm + utf8Len m ≤ utf8Len lm
⊢ ∃ c', lm = lm ++ m ++ c' ∧ mr = c' ++ (m ++ mr)


X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f


X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine (X.restrict ⋯)
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f


case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine (X.restrict ⋯)
r : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)
h₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f


case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)
r : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)
h₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)
this : ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
⊢ ∃ f, X.basicOpen f ≤ V ∧ ↑x ∈ X.basicOpen f


case h
X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)
r : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)
h₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)
this : ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)
⊢ ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ≤ V ∧ ↑x ∈ ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)


X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine (X.restrict ⋯)
r : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)
h₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)
⊢ ⋯.functor.obj ((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)


X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine (X.restrict ⋯)
r : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)
h₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)
⊢ X.basicOpen ((Scheme.Hom.invApp (X.ofRestrict ⋯) ⊤) r) = X.basicOpen ((X.presheaf.map (eqToHom ⋯).op) r)


X Y : Scheme
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
V : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
x : ↥V
h : ↑x ∈ U
this : IsAffine (X.restrict ⋯)
r : ↑Γ(X ∣_ᵤ U, ⊤)
h₁ : ⟨↑x, h⟩ ∈ ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r)
h₂ : ↑((X ∣_ᵤ U).basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map U.inclusion).obj V)
⊢ X.basicOpen ((LocallyRingedSpace.IsOpenImmersion.invApp (X.ofRestrict ⋯) ⊤) r) =
    X.basicOpen ((𝟙 Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)) r)


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ corootSpace α
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x) = 0


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x : ↥H
hx : x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x) = 0


case mem
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x x✝ : ↥H
h✝ : x✝ ∈ {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = ↑x}
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) x✝) = 0


case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x u : ↥H
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
z : L
hz : z ∈ rootSpace H (-α)
hyz : ⁅y, z⁆ = ↑u
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) u) = 0


case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x u : ↥H
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
z : L
hz : z ∈ rootSpace H (-α)
hyz : ⁅y, z⁆ = ↑u
f : Module.End R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q) :=
  {
    toFun := fun x =>
      match x with
      | ⟨m, hm⟩ => ⟨⁅y, m⁆, ⋯⟩,
    map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) u) = 0


case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : LieRing L
inst✝⁶ : LieAlgebra R L
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
H : LieSubalgebra R L
α χ : ↥H → R
p q : ℤ
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
hp : weightSpace M (p • α + χ) = ⊥
hq : weightSpace M (q • α + χ) = ⊥
x u : ↥H
y : L
hy : y ∈ rootSpace H α
z : L
hz : z ∈ rootSpace H (-α)
hyz : ⁅y, z⁆ = ↑u
f : Module.End R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q) :=
  {
    toFun := fun x =>
      match x with
      | ⟨m, hm⟩ => ⟨⁅y, m⁆, ⋯⟩,
    map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
g : Module.End R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q) :=
  {
    toFun := fun x =>
      match x with
      | ⟨m, hm⟩ => ⟨⁅z, m⁆, ⋯⟩,
    map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }
⊢ (LinearMap.trace R ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) ((toEnd R ↥H ↥↑(weightSpaceChain M α χ p q)) u) = 0


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝ : Monoid M
l : List Mᵐᵒᵖ
⊢ unop l.prod = (map unop l).reverse.prod


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c


case inr
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c


case inr.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑q ^ 2
hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c


case inr.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ∃ c ∈ cutMap β (a * a), b < c


case inr.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q ^ 2 < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ↑(q ^ 2) < a * a


case inr.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a
⊢ ↑q * ↑q < a * a


case inr.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q✝ : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : 0 ≤ b
q : ℚ
hq : 0 < q
hbq : b < ↑(q ^ 2)
hqa : ↑q * ↑q < inducedMap α β a * inducedMap α β a
q' : ℚ
hq' : ↑q < ↑q'
hqa' : ↑q' < a
⊢ ↑q * ↑q < a * a


case inl
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : b < 0
⊢ 0 ∈ cutMap β (a * a)


case inl
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : LinearOrderedField α
inst✝² : ConditionallyCompleteLinearOrderedField β
inst✝¹ : ConditionallyCompleteLinearOrderedField γ
inst✝ : Archimedean α
a : α
b✝ : β
q : ℚ
ha : 0 < a
b : β
hba : b < inducedMap α β a * inducedMap α β a
hb : b < 0
⊢ 0 < a * a


R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
⊢ W.φ 4 = C X * C W.preΨ₄ ^ 2 * W.ψ₂ ^ 2 - C W.preΨ₄ * W.ψ₂ ^ 4 * C W.Ψ₃ + C W.Ψ₃ ^ 4


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2
⊢ W.add P Q =
    addZ P Q •
      ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
          (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
        W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
          (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
        1]


G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
⊢ x ∈ setNormalizer S


G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a
⊢ x ∈ setNormalizer S


case intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S
⊢ x ∈ setNormalizer S


case intro
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S
this : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)
⊢ x ∈ setNormalizer S


G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
S : Set G
inst✝ : Finite ↑S
x : G
h : ∀ n ∈ S, x * n * x⁻¹ ∈ S
this✝ : (a : Prop) → Decidable a
val✝ : Fintype ↑S
this : Fintype ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)
n : G
h₁ : x * n * x⁻¹ ∈ S
⊢ Fintype.card ↑S ≤ Fintype.card ↑((fun n => x * n * x⁻¹) '' S)


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.227590, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0
this : Epi S.toCycles
⊢ hS.liftFromProjective f hf ≫ S.f = f


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.227590, u_2} D
inst✝¹ : Abelian C
S : ShortComplex C
hS : S.Exact
P : C
f : P ⟶ S.X₂
inst✝ : Projective P
hf : f ≫ S.g = 0
this : Epi S.toCycles
⊢ Projective.factorThru (S.liftCycles f hf) S.toCycles ≫ S.f = f


α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
R : Type u_3
inst✝ : CommSemiring R
a b : R
⊢ ∑ s : Finset (Fin n), a ^ s.card * b ^ (n - s.card) = (a + b) ^ n


R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
x y : PrimeSpectrum R
⊢ x ≤ y ↔ y ∈ closure {x}


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : CancelCommMonoid α
s t : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∏ i ∈ t \ s, f i) * ∏ i ∈ s, f i = (∏ i ∈ s \ t, f i) * ∏ i ∈ t, f i


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
t : RBSet α cmp
inst✝¹ : TransCmp cmp
inst✝ : IsCut cmp cut
⊢ (∃ x, t.lowerBoundP? cut = some x) ↔ ∃ x, x ∈ t ∧ cut x ≠ Ordering.lt


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
t : RBSet α cmp
inst✝¹ : TransCmp cmp
inst✝ : IsCut cmp cut
⊢ (∃ x, x ∈ t.val ∧ ¬cut x = Ordering.lt) ↔ ∃ x, (∃ y, y ∈ t.val ∧ cmp x y = Ordering.eq) ∧ ¬cut x = Ordering.lt


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
this : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)
⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
this : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)
⊢ ↑x ∈
      Submodule.span R
        {x |
          ∃ a b,
            ↑H.toLieSubmodule.incl
                (↑(LieModuleHom.codRestrict H.toLieSubmodule
                      ((rootSpace H 0).incl.comp (rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯)) ⋯)
                  (a ⊗ₜ[R] b)) =
              x} ↔
    ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ ↑(rootSpace H α), ∃ z ∈ ↑(rootSpace H (-α)), ⁅y, z⁆ = x}


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
⊢ x ∈
      (LieModuleHom.codRestrict H.toLieSubmodule ((rootSpace H 0).incl.comp (rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯))
          ⋯).range ↔
    ↑x ∈
      LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl
        (LieModuleHom.codRestrict H.toLieSubmodule ((rootSpace H 0).incl.comp (rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯))
            ⋯).range


x : USize
⊢ x.toUInt64.toNat = x.toNat


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ (toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ↑(r i x) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i x)) ≤ b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (1 - ε ↑x)


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
⊢ ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
h₁ : q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)
⊢ ↑(r i n) ^ p a b * (1 - ε ↑(r i n)) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
⊢ DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
z : ℝ
hz : z ∈ Set.Ioi 1
⊢ z ∈ {0}ᶜ


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
z : ℝ
hz : z ∈ Set.Ioi 1
⊢ z ≠ 0


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
z : ℝ
hz : 1 < z
⊢ z ≠ 0


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (deriv fun x => (fun z => z ^ p a b) x * (fun z => 1 - ε z) x) =ᶠ[atTop] fun x =>
    deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 - ε x) + x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
x : ℝ
hx : x ≠ 0
hx' : 1 < x
⊢ deriv (fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)) x =
    deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 - ε x) + x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 - ε x) + x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x) =O[atTop] fun x =>
    x ^ (p a b - 1)


case left
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 - ε x)) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)

case right
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


case right
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 - ε x)) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => deriv (fun z => z ^ p a b) x * (1 - ε x)) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1) * (1 - ε x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => x ^ (p a b - 1) * (1 - ε x)) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1) * 1


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
x✝ : ℝ
⊢ x✝ ^ (p a b - 1) * 1 = x✝ ^ (p a b - 1)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x) =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => x ^ p a b * deriv (fun z => 1 - ε z) x) =O[atTop] fun x => x ^ p a b * x⁻¹


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
⊢ (fun x => x ^ p a b * x⁻¹) =ᶠ[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
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r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ x ^ p a b * x⁻¹ = x ^ (p a b - 1)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun x => q ↑(r i x) - q (b i * ↑x)) =o[atTop] fun x => b i ^ p a b * ↑x ^ p a b * (ε (b i * ↑x) - ε ↑x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) =O[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => deriv q ↑n * (↑(r i n) - b i * ↑n)) =o[atTop] fun n => deriv q ↑n * (↑n / log ↑n ^ 2)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => deriv q ↑n * (↑n / log ↑n ^ 2)) =O[atTop] fun n => ↑n ^ (p a b - 1) * (↑n / log ↑n ^ 2)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => ↑n ^ (p a b - 1) * (↑n / log ↑n ^ 2)) =ᶠ[atTop] fun n => ↑n ^ p a b / log ↑n ^ 2


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
n : ℕ
hn : n ≠ 0
hn' : ↑n ≠ 0
⊢ ↑n ^ (p a b - 1) * (↑n / log ↑n ^ 2) = ↑n ^ p a b / log ↑n ^ 2


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => ↑n ^ p a b / log ↑n ^ 2) = fun n => ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)) =Θ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)) =Θ[atTop] fun n => ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => b i ^ p a b * (↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2))) =Θ[atTop] fun n => ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
⊢ (fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 / log ↑n ^ 2)) =Θ[atTop] fun n =>
    b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
⊢ (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
a✝ : ℕ
⊢ q ↑(r i a✝) - q (b i * ↑a✝) ≤ ‖q ↑(r i a✝) - q (b i * ↑a✝)‖


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
⊢ (fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖) =ᶠ[atTop] fun n =>
    b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
⊢ ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖ = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ 0 ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)


case n_gt_one
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ ↑n ∈ Set.Ioi 1

case bn_gt_one
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ∈ Set.Ioi 1

case le
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ≤ ↑n


case bn_gt_one
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ∈ Set.Ioi 1

case le
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ≤ ↑n


case le
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ≤ ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ ↑n ∈ Set.Ioi 1


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ∈ Set.Ioi 1


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ 1 = b i * (b i)⁻¹


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ (b i)⁻¹ ≤ ↑⌈(b i)⁻¹⌉₊


case bc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ ↑⌈(b i)⁻¹⌉₊ < ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ b i * ↑n ≤ ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
n : ℕ
hn : ⌈(b i)⁻¹⌉₊ < n
hn' : 1 < n
h₁ : 0 < b i
⊢ 1 * ↑n = ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
q : ℝ → ℝ := fun x => x ^ p a b * (1 - ε x)
h_diff_q : DifferentiableOn ℝ q (Set.Ioi 1)
h_deriv_q : deriv q =O[atTop] fun x => x ^ (p a b - 1)
h_main_norm :
  (fun n => ‖q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)‖) ≤ᶠ[atTop] fun n => ‖b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)‖
h_main : (fun n => q ↑(r i n) - q (b i * ↑n)) ≤ᶠ[atTop] fun n => b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
n : ℕ
hn : q ↑(r i n) - q (b i * ↑n) ≤ b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n)
this : 0 < b i
⊢ q (b i * ↑n) + b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (ε (b i * ↑n) - ε ↑n) = b i ^ p a b * ↑n ^ p a b * (1 - ε ↑n)


case h
R : Type u
A : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
a : A
r : Rˣ
x : R
x_eq : x = r • r⁻¹ • x
⊢ r • r⁻¹ • x ∈ σ (r • a) ↔ x ∈ r • σ a


arr : Array UFNode
x y : Fin arr.size
h : (arr.get x).rank < (arr.get y).rank
i : Nat
rankD_lt : parentD arr i ≠ i → rankD arr i < rankD arr (parentD arr i)
⊢ ∀ {i : Nat},
    rankD (arr.set x { parent := ↑y, rank := (arr.get x).rank }) i =
      if ↑y = i ∧ (arr.get x).rank = (arr.get y).rank then (arr.get y).rank + 1 else rankD arr i


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s s' : Set A
⊢ zeroLocus 𝒜 s ∪ zeroLocus 𝒜 s' = zeroLocus 𝒜 ↑(Ideal.span s ⊓ Ideal.span s')


J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F : J ⥤ AddCommGrp
j j' : J
f : j ⟶ j'
x : ↑(F.obj j)
⊢ (coconeMorphism F j') ((F.map f) x) = (coconeMorphism F j) x


C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ (leftHomologyMap φ).op = S₂.rightHomologyOpIso.inv ≫ rightHomologyMap (opMap φ) ≫ S₁.rightHomologyOpIso.hom


C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasLeftHomology
inst✝ : S₂.HasLeftHomology
⊢ (leftHomologyMap' φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData).op =
    rightHomologyMap' (𝟙 S₂.op) S₂.leftHomologyData.op S₂.op.rightHomologyData ≫
      rightHomologyMap' (opMap φ) S₂.op.rightHomologyData S₁.op.rightHomologyData ≫
        rightHomologyMap' (𝟙 S₁.op) S₁.op.rightHomologyData S₁.leftHomologyData.op


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
⊢ IsIso (homologyMap φ)


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
h : S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0
⊢ IsIso (homologyMap φ)


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
⊢ S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0


case refine_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
h : S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0
z : (CokernelCofork.ofπ S₂.homologyπ ⋯).pt ⟶ S₁.homology
hz : S₂.homologyπ ≫ z = inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ
⊢ homologyMap φ ≫ z = 𝟙 S₁.homology


case refine_2
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ✝ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
A : C
φ : S₁ ⟶ S₂
inst✝¹ : S₁.HasHomology
inst✝ : S₂.HasHomology
h₁ : IsIso (cyclesMap φ)
h₂ : Epi φ.τ₁
h : S₂.toCycles ≫ inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ = 0
z : (CokernelCofork.ofπ S₂.homologyπ ⋯).pt ⟶ S₁.homology
hz : S₂.homologyπ ≫ z = inv (cyclesMap φ) ≫ S₁.homologyπ
⊢ z ≫ homologyMap φ = 𝟙 S₂.homology


P : MorphismProperty Scheme
hP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f
⊢ PropertyIsLocalAtTarget P.universally


P : MorphismProperty Scheme
hP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
H : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : (𝒰.pullbackCover i₂).J
⊢ P pullback.snd


case x
P : MorphismProperty Scheme
hP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
H : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : (𝒰.pullbackCover i₂).J
⊢ IsPullback pullback.snd (pullback.lift (pullback.fst ≫ i₁) (pullback.snd ≫ pullback.snd) ⋯) pullback.snd pullback.snd


case x
P : MorphismProperty Scheme
hP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
H : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : (𝒰.pullbackCover i₂).J
⊢ IsPullback (pullback.lift (pullback.fst ≫ i₁) (pullback.snd ≫ pullback.snd) ⋯ ≫ pullback.fst) pullback.snd f
    (pullback.snd ≫ 𝒰.map i)


case x
P : MorphismProperty Scheme
hP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
H : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : (𝒰.pullbackCover i₂).J
⊢ IsPullback (pullback.fst ≫ i₁) pullback.snd f (pullback.fst ≫ i₂)


P : MorphismProperty Scheme
hP : ∀ {X Y : Scheme} (f : X ⟶ Y) (𝒰 : Y.OpenCover), (∀ (i : 𝒰.J), P pullback.snd) → P f
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
𝒰 : Y.OpenCover
h : ∀ (i : 𝒰.J), P.universally pullback.snd
X' Y' : Scheme
i₁ : X' ⟶ X
i₂ : Y' ⟶ Y
f' : X' ⟶ Y'
H : IsPullback f' i₁ i₂ f
i : (𝒰.pullbackCover i₂).J
⊢ (pullback.fst ≫ i₁) ≫ f = (pullback.snd ≫ pullback.snd) ≫ 𝒰.map i


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ S.op.δ.unop = S.δ.op.unop


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ pushout.inr.unop ≫ S.op.δ.unop ≫ pullback.snd.unop = pushout.inl.unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pullback.fst.unop


case a
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S : SnakeInput C
⊢ (pushout.inr.unop ≫ S.op.δ.unop ≫ pullback.snd.unop).op = (pushout.inl.unop ≫ S.v₁₂.τ₂ ≫ pullback.fst.unop).op


R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
a : A
ad : A[ε]
⊢ (lift fe) (MulOpposite.op a • ad) = (lift fe) ad * (↑fe).1 a


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ map f ⁅I₁, I₂⁆ ≤ ⁅map f I₁, map f I₂⁆


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
⊢ ⁅I₁, I₂⁆ ≤ comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆


case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)


case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)


case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
fy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ ↑(comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆)


case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
fy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩
⊢ ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ ∈ comap f ⁅map f I₁, map f I₂⁆


case intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
inst✝¹ : LieRing L'
inst✝ : LieAlgebra R L'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
x y₁ : L
hy₁ : y₁ ∈ I₁
y₂ : L
hy₂ : y₂ ∈ I₂
hx : ⁅↑⟨y₁, hy₁⟩, ↑⟨y₂, hy₂⟩⁆ = x
fy₁ : ↥(map f I₁) := ⟨f y₁, ⋯⟩
fy₂ : ↥(map f I₂) := ⟨f y₂, ⋯⟩
⊢ ⁅f y₁, f y₂⁆ ∈ ⁅map f I₁, map f I₂⁆


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℤ
⊢ (map (fun i => f i ^ n) m).prod = (map f m).prod ^ n


case h.e'_2.h.e'_3
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : DivisionCommMonoid α
m : Multiset ι
f g : ι → α
n : ℤ
⊢ map (fun i => f i ^ n) m = map (⇑(zpowGroupHom n)) (map f m)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ fract (a + b) ≤ fract a + fract b


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a b : α
⊢ ⌊a⌋ + ⌊b⌋ ≤ ⌊a + b⌋


case pos.h
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₁ c j j' =
    K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom


case pos.h
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
⊢ K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫ (K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j ⋯) ≫ K.D₁ c j j' =
    K.flip.ιTotal c i₂ i₁ j h₁ ≫
      K.flip.D₂ c j j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯


case pos
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₁ c i₁ i₂ j' =
    K.flip.d₂ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯


case pos
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₃ : c₂.π c₁ c (i₂, c₁.next i₁) = j'
⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₁ c i₁ i₂ j' =
    K.flip.d₂ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯


case pos
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₃ : c₂.π c₁ c (i₂, c₁.next i₁) = j'
h₄ : c₁.π c₂ c (c₁.next i₁, i₂) = j'
⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₁ c i₁ i₂ j' =
    K.flip.d₂ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯


C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
⊢ c₂.π c₁ c (i₂, c₁.next i₁) = j'


C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
h₂ : c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
h₃ : c₂.π c₁ c (i₂, c₁.next i₁) = j'
⊢ c₁.π c₂ c (c₁.next i₁, i₂) = j'


case neg
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : c.Rel j j'
i₂ : I₂
i₁ : I₁
h₁ : c₂.π c₁ c (i₂, i₁) = j
h₂ : ¬c₁.Rel i₁ (c₁.next i₁)
⊢ c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.d₁ c i₁ i₂ j' =
    K.flip.d₂ c i₂ i₁ j' ≫ K.flip.totalDesc fun i₂ i₁ h => c₁.σ c₂ c i₁ i₂ • K.ιTotal c i₁ i₂ j' ⋯


case neg
C : Type u_1
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
J : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_5, u_1} C
inst✝⁶ : Preadditive C
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
c : ComplexShape J
inst✝⁵ : TotalComplexShape c₁ c₂ c
inst✝⁴ : TotalComplexShape c₂ c₁ c
inst✝³ : TotalComplexShapeSymmetry c₁ c₂ c
inst✝² : K.HasTotal c
inst✝¹ : K.flip.HasTotal c
inst✝ : DecidableEq J
j j' : J
h₀ : ¬c.Rel j j'
⊢ (K.totalFlipIsoX c j).hom ≫ K.D₁ c j j' = K.flip.D₂ c j j' ≫ (K.totalFlipIsoX c j').hom


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIcoMod hp a b ≤ toIocMod hp a b


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
⊢ toIocDiv hp a b • p ≤ toIcoDiv hp a b • p


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝³ : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝² : ExistsAddOfLE α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
inst✝ : DecidableEq α
a b c : α
⊢ image (fun x => c + x) (Ico a b) = Ico (c + a) (c + b)


R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
n : ℤ
⊢ (mk W) (W.φ n) = (mk W) (C (W.Φ n))


case mp
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : IsTrivial L M
⊢ lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥


case mpr
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : lowerCentralSeries R L M 1 = ⊥
⊢ IsTrivial L M


case mpr.trivial.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ lowerCentralSeries R L M 1


case mpr.trivial.a.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ⁅x, m⁆ ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


case mpr.trivial.a.a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
k : ℕ
N : LieSubmodule R L M
M₂ : Type w₁
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
h : ∀ m ∈ lowerCentralSeries R L M 1, m = 0
x : L
m : M
⊢ ∃ a a_1, ⁅a, a_1⁆ = ⁅x, m⁆


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k = posFittingComp R L M


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ ⨅ k, lowerCentralSeries R L M k ≤ posFittingComp R L M


case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
⊢ IsNilpotent R L (M ⧸ posFittingComp R L M)


case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
⊢ _root_.IsNilpotent ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x)


case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
x✝ : M ⧸ posFittingComp R L M
m : M
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ posFittingComp R L M)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)


case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)


case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (Quot.mk Setoid.r m) = 0 (Quot.mk Setoid.r m)


case h.h.mk
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
hk : ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F
⊢ ((toEnd R L (M ⧸ F)) x ^ k) (LieSubmodule.Quotient.mk m) = LieSubmodule.Quotient.mk (((toEnd R L M) x ^ k) m)


K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ F


case a
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ posFittingCompOf R M x


case a
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : IsArtinian R M
x : L
k : ℕ
hk : ∀ b ≥ k, ⨅ m, LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ m) = LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ b)
m : M
F : LieSubmodule R L M := posFittingComp R L M
x✝ : M ⧸ F
⊢ ((toEnd R L M) x ^ k) m ∈ LinearMap.range ((toEnd R L M) x ^ k)


R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ derivedSeries R L 1
⊢ χ x = 0


R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
⊢ χ x = 0


case refine_1.intro.mk.intro.mk
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
z : L
hz : z ∈ ⊤
w : L
hw : w ∈ ⊤
⊢ χ ⁅↑⟨z, hz⟩, ↑⟨w, hw⟩⁆ = 0


case refine_3
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y z : L
hy : χ y = 0
hz : χ z = 0
⊢ χ (y + z) = 0


case refine_4
R : Type u
L : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : LieRing L
inst✝ : LieAlgebra R L
χ : LieCharacter R L
x : L
h : x ∈ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
t : R
y : L
hy : χ y = 0
⊢ χ (t • y) = 0


α : Type u
β : Type v
x : α
l : List α
k : Nat
⊢ x ∈ l.eraseIdx k ↔ ∃ i, i ≠ k ∧ l.get? i = some x


case h
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a


case h
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ spectrum R ↑a


case h
R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
⊢ r ∈ quasispectrum R a ↔ r ∈ quasispectrum R ↑a


R✝ : Type u_1
A✝ : Type u_2
inst✝¹³ : CommSemiring R✝
inst✝¹² : NonUnitalRing A✝
inst✝¹¹ : Module R✝ A✝
inst✝¹⁰ : IsScalarTower R✝ A✝ A✝
inst✝⁹ : SMulCommClass R✝ A✝ A✝
R : Type u_3
S : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁸ : Semifield R
inst✝⁷ : Field S
inst✝⁶ : NonUnitalRing A
inst✝⁵ : Algebra R S
inst✝⁴ : Module S A
inst✝³ : IsScalarTower S A A
inst✝² : SMulCommClass S A A
inst✝¹ : Module R A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
this : {0} ⊆ spectrum R ↑a
x : IsUnit r
⊢ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • a)) ↔ ¬IsQuasiregular (-(x.unit⁻¹ • ↑a))


R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]
⊢ supDegree D (f - g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D g


R : Type u_1
R' : Type u_2
A : Type u_3
T : Type u_4
B : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁵ : Semiring R
inst✝⁴ : Ring R'
inst✝³ : AddZeroClass A
inst✝² : SemilatticeSup B
inst✝¹ : Add B
inst✝ : OrderBot B
D : A → B
f g : R'[A]
⊢ supDegree D (f + -g) ≤ supDegree D f ⊔ supDegree D (-g)


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ leftRightHomologyComparison' h₁ h₂ = h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫
      S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ =
    h₁.homologyIso.inv ≫ h₂.homologyIso.hom


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁✝ : S₁.HomologyData
h₂✝ : S₂.HomologyData
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasHomology
⊢ leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.homologyData.left ≫
      S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right h₂ =
    (leftHomologyMap' (𝟙 S) h₁ S.leftHomologyData ≫ leftHomologyMap' (𝟙 S) S.leftHomologyData S.homologyData.left) ≫
      (S.homologyData.iso.hom ≫ rightHomologyMap' (𝟙 S) S.homologyData.right S.rightHomologyData) ≫
        rightHomologyMap' (𝟙 S) S.rightHomologyData h₂


case coe.coe
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedCommGroup α
a✝¹ a✝ : NonemptyInterval α
⊢ ↑a✝¹ * ↑a✝ = 1 ↔ ∃ a b, ↑a✝¹ = pure a ∧ ↑a✝ = pure b ∧ a * b = 1


case coe.coe
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedCommGroup α
a✝¹ a✝ : NonemptyInterval α
⊢ a✝¹ * a✝ = 1 ↔ ∃ a b, a✝¹ = NonemptyInterval.pure a ∧ a✝ = NonemptyInterval.pure b ∧ a * b = 1


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
⊢ W.Nonsingular 0 0 ↔ W.a₆ = 0 ∧ (W.a₃ ≠ 0 ∨ W.a₄ ≠ 0)


α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
⊢ (countP p) (of x) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0


α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
x : α
⊢ (if p x = (true = true) then 1 else 0) = if p x then Multiplicative.ofAdd 1 else Multiplicative.ofAdd 0


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
⊢ z ∈ ↑(basicOpen 𝒜 f) ↔ z ∈ ↑(⨆ i, basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f))


case mp
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
hz : f ∉ z.asHomogeneousIdeal
⊢ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u


case mp.intro
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
hz : f ∉ z.asHomogeneousIdeal
i : ℕ
hi : (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∉ z.asHomogeneousIdeal
⊢ ∃ u ∈ Set.range fun i => basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f), z ∈ u


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
H : ∀ (i : ℕ), (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∈ z.asHomogeneousIdeal
⊢ f ∈ z.asHomogeneousIdeal


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
H : ∀ (i : ℕ), (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∈ z.asHomogeneousIdeal
⊢ ∑ i ∈ DFinsupp.support ((decompose 𝒜) f), ↑(((decompose 𝒜) f) i) ∈ z.asHomogeneousIdeal


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
z : ProjectiveSpectrum 𝒜
hz : f ∉ z.asHomogeneousIdeal
i : ℕ
hi : (GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f ∉ z.asHomogeneousIdeal
⊢ z ∈ basicOpen 𝒜 ((GradedAlgebra.proj 𝒜 i) f)


R : Type u_1
inst✝ : NonAssocRing R
n✝ r✝ n r : R
⊢ r * bit1 n = 2 • (r * n) + r


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ a ≡ b [PMOD p] ↔ toIocMod hp a b = a + p


case refine_1.intro
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a c : α
n z : ℤ
⊢ toIocMod hp a (a + z • p) = a + p


C : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝ : Abelian C
c : ComplexShape ι
K : HomologicalComplex C c
A : C
i : ι
γ : A ⟶ K.homology i
⊢ ∃ A' π, ∃ (_ : Epi π), ∃ z, ∃ (hz : z ≫ K.d i (c.next i) = 0), π ≫ γ = K.liftCycles z (c.next i) ⋯ hz ≫ K.homologyπ i


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1


case intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1


case intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ f a / s.gcd f = g a


case intro.intro.ha
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ s.gcd f ≠ 0


f : ℕ → ℕ → ℕ
hf : Primrec' fun v => f v.head v.tail.head
n : ℕ
g h : Vector ℕ n → ℕ
hg : Primrec' g
hh : Primrec' h
⊢ Primrec' fun v => f (g v) (h v)


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ insert a s), f i = f a * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ Disjoint {a} s


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s t : Set α
f : α → M
h : a ∉ s
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
⊢ ({a} ∩ mulSupport f).Finite


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b


case pos
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∈ s
h₂ : b ∈ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b


case neg
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∈ s
h₂ : b ∉ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b


case neg
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∈ s
h₂ : b ∉ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a


case neg
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∈ s
h₂ : b ∉ s
⊢ ∀ b ∈ s, b ≠ a → f b = 1


case pos
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∉ s
h₂ : b ∈ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b


case pos
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∉ s
h₂ : b ∈ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f b


case pos
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∉ s
h₂ : b ∈ s
⊢ ∀ b_1 ∈ s, b_1 ≠ b → f b_1 = 1


case neg
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∉ s
h₂ : b ∉ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = f a * f b


case neg
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
a b : α
hn : a ≠ b
h₀ : ∀ c ∈ s, c ≠ a ∧ c ≠ b → f c = 1
ha : a ∉ s → f a = 1
hb : b ∉ s → f b = 1
this : DecidableEq α
h₁ : a ∉ s
h₂ : b ∉ s
⊢ ∏ x ∈ s, f x = 1


X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
⊢ IsFractionRing ↑Γ(X, U) ↑X.functionField


X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this : IsAffine (X.restrict ⋯)
⊢ IsFractionRing ↑Γ(X, U) ↑X.functionField


X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)
this : Nonempty ↑↑(X ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
⊢ IsFractionRing ↑Γ(X, U) ↑X.functionField


X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)
this✝ : Nonempty ↑↑(X ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
this : IsIntegral (X ∣_ᵤ U)
⊢ IsFractionRing ↑Γ(X, U) ↑X.functionField


X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)
this✝ : Nonempty ↑↑(X ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
this : IsIntegral (X ∣_ᵤ U)
⊢ IsLocalization (nonZeroDivisors ↑Γ(X, U)) ↑(X.presheaf.stalk (genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace))


case h.e'_3.h
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)
this✝ : Nonempty ↑↑(X ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
this : IsIntegral (X ∣_ᵤ U)
⊢ nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) = (hU.primeIdealOf ⟨genericPoint ↑↑X.toPresheafedSpace, ⋯⟩).asIdeal.primeCompl


case h.e'_3.h.h
X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this✝¹ : IsAffine (X.restrict ⋯)
this✝ : Nonempty ↑↑(X ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
this : IsIntegral (X ∣_ᵤ U)
x✝ : ↑Γ(X, U)
⊢ x✝ ∈ nonZeroDivisors ↑Γ(X, U) ↔ x✝ ∈ ⊥.asIdeal.primeCompl


X : Scheme
inst✝ : IsIntegral X
U : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
hU : IsAffineOpen U
hU' : Nonempty ↥U
this✝ : IsAffine (X.restrict ⋯)
this : Nonempty ↑↑(X ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
⊢ IsDomain ↑Γ(X, ⋯.functor.obj ⊤)


case h
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e :
  ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ =
    ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂


case h
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
n : ℕ
e :
  ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁ =
    ↑⟨(fun x => (f |_ ↑S) ⋯ ^ x) n, ⋯⟩ * (((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ (((f |_ U₁) ⋯ ^ (m - n + n + n₂) * y₁) |_ ↑S) h₁ = (((f |_ U₂) ⋯ ^ (m - n + n + n₁) * y₂) |_ ↑S) h₂


X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ (algebraMap ↑Γ(X, ↑S) ↑Γ(X, X.basicOpen ((f |_ ↑S) ⋯))) ((((f |_ U₁) ⋯ ^ n₂ * y₁) |_ ↑S) h₁) =
    (algebraMap ↑Γ(X, ↑S) ↑Γ(X, X.basicOpen ((f |_ ↑S) ⋯))) ((((f |_ U₂) ⋯ ^ n₁ * y₂) |_ ↑S) h₂)


case h₇₅
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ X.basicOpen ((f |_ ↑S) ⋯) ≤ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)


case h₇₅
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ≤ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)


case h₇₅
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ ↑S ⊓ X.basicOpen f ≤ U₁ ⊓ X.basicOpen f


case h₇₅
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ ↑S ⊓ X.basicOpen f ≤ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)


case h₇₆
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ X.basicOpen ((f |_ ↑S) ⋯) ≤ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)


case h₇₆
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f) ≤ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)


case h₇₆
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ ↑S ⊓ X.basicOpen f ≤ U₂ ⊓ X.basicOpen f


case h₇₆
X✝ Y : Scheme
f✝ : X✝ ⟶ Y
X : Scheme
S : ↑X.affineOpens
U₁ U₂ : Opens ↑↑X.toPresheafedSpace
n₁ n₂ : ℕ
y₁ : ↑Γ(X, U₁)
y₂ : ↑Γ(X, U₂)
f : ↑Γ(X, U₁ ⊔ U₂)
x : ↑Γ(X, X.basicOpen f)
h₁ : ↑S ≤ U₁
h₂ : ↑S ≤ U₂
e₁ :
  (y₁ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₁) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯ ^ n₁ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₁) ⋯)) ⋯
e₂ :
  (y₂ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ =
    ((f |_ U₂) ⋯ |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯ ^ n₂ * (x |_ X.basicOpen ((f |_ U₂) ⋯)) ⋯
⊢ ↑S ⊓ X.basicOpen f ≤ X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) f)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
as : Array α
bs : Array β
f : α → β → γ
⊢ (as.zipWith bs f).size = min as.size bs.size


ι : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
𝕜 : Type u_5
R : Type u_6
M : Type u_7
N : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝⁵ : Semiring α
inst✝⁴ : Invertible 2
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : AddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : CovariantClass β β (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x y : β
⊢ x ⊓ y = ⅟2 • (x + y - |y - x|)


α : Type u_1
inst✝³ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝² : Sub α
inst✝¹ : OrderedSub α
a✝ b✝ c d : α
inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a b : α
⊢ a - (a - b) = min a b


α : Type u_1
β : Type u_2
a✝ a₁ a₂ : α
b b₁✝ b₂✝ : β
inst✝³ : OrderedRing α
inst✝² : OrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : PosSMulMono α β
b₁ b₂ : α
a d : β
hba : b₂ ≤ b₁
hdc : d ≤ a
⊢ b₂ • a + b₁ • d ≤ b₂ • d + b₁ • a


α : Type u_1
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
⊢ sInf (s / t) = sInf s / sSup t


α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
⊢ ∏ i : α, ∏ j ∈ Ioi i, f j i * f i j = ∏ i : α, ∏ j ∈ {i}ᶜ, f j i


case e_a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
⊢ ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Ioi x, f x x_1 = ∏ x : α, ∏ x_1 ∈ Iio x, f x_1 x


case e_a
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝⁴ : Fintype α
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : LocallyFiniteOrderTop α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrderBot α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → α → M
⊢ ∏ x ∈ univ.sigma Ioi, f x.fst x.snd = ∏ x ∈ univ.sigma Iio, f x.snd x.fst


R✝ : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
k : Type u_5
S : Type u_6
S₃ : Type u_7
T : Type u_8
M✝ : Type u_9
M₁ : Type u_10
M₂✝ : Type u_11
M₃ : Type u_12
N₁ : Type u_13
N₂ : Type u_14
N₃ : Type u_15
ι : Type u_16
R : outParam (Type u_17)
M : outParam (Type u_18)
M₂ : outParam (Type u_19)
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₂
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R M₂
F : Type u_20
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : LinearMapClass F R M M₂
f : F
r : R
x : M
⊢ f (r • x) = r • f x


R : Type u₁
L : Type u₂
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : LieRing L
inst✝² : LieAlgebra R L
A : Type u₃
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
f : L →ₗ⁅R⁆ A
x : L
⊢ ((lift R) f) ((ι R) x) = f x


R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).φ n = Polynomial.map (mapRingHom ↑f) ((W.baseChange A).φ n)