case mapToSelf
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
hxs : xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)
hperm : map Sigma.fst (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) ~ map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))
hnodup : (map Sigma.snd (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁))).Nodup
⊢ Injective (mapToSelf (List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)) hperm hnodup).apply


α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
hperm : map Sigma.fst xs ~ map Sigma.snd xs
hnodup : (map Sigma.snd xs).Nodup
xs₀ : List α
h₀ : map Sigma.fst xs = xs₀
xs₁ : List α
h₁ : map Sigma.snd xs = xs₁
⊢ xs = List.toFinmap' (xs₀.zip xs₁)


α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs : List ((_ : α) × α)
⊢ xs = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst xs).zip (map Sigma.snd xs))


case nil
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
⊢ [] = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst []).zip (map Sigma.snd []))


case cons
α : Type u
β : Type v
γ : Sort w
inst✝ : DecidableEq α
xs_hd : (_ : α) × α
xs_tl : List ((_ : α) × α)
xs_ih : xs_tl = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst xs_tl).zip (map Sigma.snd xs_tl))
⊢ xs_hd :: xs_tl = map Prod.toSigma ((map Sigma.fst (xs_hd :: xs_tl)).zip (map Sigma.snd (xs_hd :: xs_tl)))


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
n : ℕ
f : Fin n → α → σ
hf : ∀ (i : Fin n), Primrec (f i)
⊢ Primrec fun a => (Vector.ofFn fun i => f i a).toList


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
⊢ ∃ i,
    ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
⊢ ∃ i,
    ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
⊢ ∃ i,
    ∀ j ≥ i, abv ((∑ k ∈ range j, f k) * ∑ k ∈ range j, g k - ∑ n ∈ range j, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
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N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
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M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ abv ((∑ k ∈ range K, f k) * ∑ k ∈ range K, g k - ∑ n ∈ range K, ∑ m ∈ range (n + 1), f m * g (n - m)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ abv (∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ i ∈ range K, abv (f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε


case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ i ∈ range K, abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) -
      ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) <
    ε / (4 * Q) * (2 * Q)


case h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ k ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K), abv (f k) * abv (∑ k ∈ range (K - k), g k - ∑ k ∈ range K, g k) <
    ε / (4 * Q) * (2 * Q)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
⊢ (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
⊢ ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ x ∈ range K, (f x * (∑ k ∈ range (K - x), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + f x * ∑ k ∈ range K, g k)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
h : Q = 0
⊢ False


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
⊢ ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
⊢ max N M + 1 < 2 * (max N M + 1)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
⊢ max N M + 1 < max N M + 1 + (max N M + 1)


case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
m : ℕ
hmJ : m ∈ range (max N M + 1)
⊢ abv (∑ k ∈ range (K - m), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤ ε / (2 * P)


case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
m : ℕ
hmJ : m ∈ range (max N M + 1)
⊢ m + N ≤ 2 * (max N M + 1)


case h.h.h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
m : ℕ
hmJ : m ∈ range (max N M + 1)
⊢ m ≤ max N M + 1


case h.h.h₂
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
m : ℕ
hmJ : m ∈ range (max N M + 1)
⊢ N ≤ max N M + 1


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
this :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) +
      (∑ i ∈ range K, abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) -
        ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) <
    ε
⊢ ∑ i ∈ range K, abv (f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k)) < ε


case h₁
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) < ε / (2 * P) * P


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P)) < ε / (2 * P) * P


case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K)
⊢ abv (∑ k ∈ range (K - i✝), g k + -∑ k ∈ range K, g k) ≤ 2 * Q


case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K)
⊢ abv (∑ k ∈ range (K - i✝), g k) + abv (-∑ k ∈ range K, g k) ≤ 2 * Q


case h.h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
i✝ : ℕ
a✝ : i✝ ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K)
⊢ abv (∑ k ∈ range (K - i✝), g k) + abv (∑ k ∈ range K, g k) ≤ Q + Q


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ ∑ i ∈ filter (fun k => max N M + 1 ≤ k) (range K), abv (f i) * (2 * Q) < ε / (4 * Q) * (2 * Q)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
⊢ (∑ k ∈ range K, abv (f k) - ∑ k ∈ range (max N M + 1), abv (f k)) * (2 * Q) < ε / (4 * Q) * (2 * Q)


case bc
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : LinearOrderedField α
inst✝¹ : Ring β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
f g : ℕ → β
a : ℕ → α
ha : IsCauSeq abs fun m => ∑ n ∈ range m, abv (f n)
hb : IsCauSeq abv fun m => ∑ n ∈ range m, g n
ε : α
ε0 : 0 < ε
P : α
hP : ∀ (i : ℕ), |∑ n ∈ range i, abv (f n)| < P
Q : α
hQ : ∀ (i : ℕ), abv (∑ n ∈ range i, g n) < Q
hP0 : 0 < P
hPε0 : 0 < ε / (2 * P)
N : ℕ
hN : ∀ j ≥ N, ∀ k ≥ N, abv (∑ n ∈ range j, g n - ∑ n ∈ range k, g n) < ε / (2 * P)
hQε0 : 0 < ε / (4 * Q)
M : ℕ
hM : ∀ j ≥ M, ∀ k ≥ M, |∑ n ∈ range j, abv (f n) - ∑ n ∈ range k, abv (f n)| < ε / (4 * Q)
K : ℕ
hK : K ≥ 2 * (max N M + 1)
h₁ : ∑ m ∈ range K, ∑ k ∈ range (m + 1), f k * g (m - k) = ∑ m ∈ range K, ∑ n ∈ range (K - m), f m * g n
h₂ : (fun i => ∑ k ∈ range (K - i), f i * g k) = fun i => f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k
h₃ :
  ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range (K - i), g k =
    ∑ i ∈ range K, f i * (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) + ∑ i ∈ range K, f i * ∑ k ∈ range K, g k
two_mul_two : 4 = 2 * 2
hQ0 : Q ≠ 0
h2Q0 : 2 * Q ≠ 0
hε : ε / (2 * P) * P + ε / (4 * Q) * (2 * Q) = ε
hNMK : max N M + 1 < K
hKN : N < K
hsumlesum :
  ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * abv (∑ k ∈ range (K - i), g k - ∑ k ∈ range K, g k) ≤
    ∑ i ∈ range (max N M + 1), abv (f i) * (ε / (2 * P))
hsumltP : ∑ n ∈ range (max N M + 1), abv (f n) < P
this : 0 < Q
⊢ ∑ k ∈ range K, abv (f k) - ∑ k ∈ range (max N M + 1), abv (f k) < ε / (4 * Q)


R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)
inst✝ : Small.{v, u} R
inj : Injective R Q
I : Ideal R
g : ↥I →ₗ[R] Q
⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩


R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)
inst✝ : Small.{v, u} R
inj : Injective R Q
I : Ideal R
g : ↥I →ₗ[R] Q
eI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R
⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩


case intro
R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)
inst✝ : Small.{v, u} R
inj : Injective R Q
I : Ideal R
g : ↥I →ₗ[R] Q
eI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R
eR : Shrink.{v, u} R ≃ₗ[R] R := Shrink.linearEquiv R R
g' : Shrink.{v, u} R →ₗ[R] Q
hg' : ∀ (x : Shrink.{v, u} ↥I), g' ((↑eR.symm ∘ₗ Submodule.subtype I ∘ₗ ↑eI) x) = (g ∘ₗ ↑eI) x
⊢ ∃ g', ∀ (x : R) (mem : x ∈ I), g' x = g ⟨x, mem⟩


R : Type u
inst✝⁸ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁷ : AddCommGroup Q
inst✝⁶ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : AddCommGroup N
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
inst✝¹ : Fact (Function.Injective ⇑i)
inst✝ : Small.{v, u} R
inj : Injective R Q
I : Ideal R
g : ↥I →ₗ[R] Q
eI : Shrink.{v, u} ↥I ≃ₗ[R] ↥I := Shrink.linearEquiv (↥I) R
eR : Shrink.{v, u} R ≃ₗ[R] R := Shrink.linearEquiv R R
g' : Shrink.{v, u} R →ₗ[R] Q
hg' : ∀ (x : Shrink.{v, u} ↥I), g' ((↑eR.symm ∘ₗ Submodule.subtype I ∘ₗ ↑eI) x) = (g ∘ₗ ↑eI) x
x : R
mx : x ∈ I
⊢ (g' ∘ₗ ↑eR.symm) x = g ⟨x, mx⟩


G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
⊢ UniqueMul (map { toFun := op, inj' := ⋯ } (map { toFun := op, inj' := ⋯ } A))
    (map { toFun := op, inj' := ⋯ } (map { toFun := op, inj' := ⋯ } B)) (op (op a0)) (op (op b0))


G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Mul G
inst✝ : Mul H
A B : Finset G
a0 b0 : G
h : UniqueMul A B a0 b0
⊢ UniqueMul (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) A)
    (map ({ toFun := op, inj' := ⋯ }.trans { toFun := op, inj' := ⋯ }) B) (op (op a0)) (op (op b0))


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
r : RBNode α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) r
hl : Ordered cmp l
hr : Ordered cmp r
⊢ Ordered cmp (l.balLeft v r)


case h_2.h_2
α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
l : RBNode α
v : α
lv : All (fun x => cmpLT cmp x v) l
hl : Ordered cmp l
l✝ : RBNode α
x✝ : ∀ (a : RBNode α) (x : α) (b : RBNode α), l = node red a x b → False
r✝ a✝ : RBNode α
y✝ : α
b✝ : RBNode α
z✝ : α
c✝ : RBNode α
vr : All (fun x => cmpLT cmp v x) (node red (node black a✝ y✝ b✝) z✝ c✝)
hr : Ordered cmp (node red (node black a✝ y✝ b✝) z✝ c✝)
vy : (fun x => cmpLT cmp v x) y✝
va : All (fun x => cmpLT cmp v x) a✝
right✝ : All (fun x => cmpLT cmp v x) b✝
yz : (fun x => cmpLT cmp x z✝) y✝
left✝ : All (fun x => cmpLT cmp x z✝) a✝
bz : All (fun x => cmpLT cmp x z✝) b✝
zc : All (fun x => cmpLT cmp z✝ x) c✝
ay : All (fun x => cmpLT cmp x y✝) a✝
yb : All (fun x => cmpLT cmp y✝ x) b✝
ha : Ordered cmp a✝
hb : Ordered cmp b✝
hc : Ordered cmp c✝
⊢ Ordered cmp (node red (node black l v a✝) y✝ (b✝.balance2 z✝ c✝.setRed))


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Projective R
P : Fin 3 → R
⊢ (eval P) W.polynomialZ =
    P 1 ^ 2 + W.a₁ * P 0 * P 1 + 2 * W.a₃ * P 1 * P 2 - (W.a₂ * P 0 ^ 2 + 2 * W.a₄ * P 0 * P 2 + 3 * W.a₆ * P 2 ^ 2)


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
x : ↥(pbo f)
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ awayToΓ 𝒜 f ≫ (Proj.restrict ⋯).ΓToStalk x =
    RingHom.comp
      ((specStalkEquiv 𝒜 f x f_deg hm).hom ≫
        (Proj.stalkIso' 𝒜 ↑x).toCommRingCatIso.inv ≫ (Proj.restrictStalkIso ⋯ x).inv)
      (algebraMap (A⁰_ f) ↑((Spec.structureSheaf (A⁰_ f)).presheaf.stalk ((toSpec 𝒜 f).val.base x)))


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
⊢ W.addY P Q = addU P Q ^ 3


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ untrop (∑ i ∈ s, f i) = s.inf (untrop ∘ f)


case h.e'_3
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder R
inst✝ : OrderTop R
s : Finset S
f : S → Tropical R
⊢ s.inf (untrop ∘ f) = (Multiset.map untrop (Multiset.map f s.val)).inf


ι✝ : Type u_1
ι : Type u_2
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c
C₁ : Type u_3
C₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} C₁
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_4} C₂
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
inst✝⁶ : F.Additive
inst✝⁵ : F.PreservesHomology
i : ι
inst✝⁴ : K.HasHomology i
inst✝³ : L.HasHomology i
inst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
inst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
⊢ QuasiIsoAt ((F.mapHomologicalComplex c).map φ) i ↔ QuasiIsoAt φ i


ι✝ : Type u_1
ι : Type u_2
C : Type u
inst✝¹² : Category.{v, u} C
inst✝¹¹ : HasZeroMorphisms C
c : ComplexShape ι
K✝ L✝ M K' L' : HomologicalComplex C c
C₁ : Type u_3
C₂ : Type u_4
inst✝¹⁰ : Category.{u_5, u_3} C₁
inst✝⁹ : Category.{u_6, u_4} C₂
inst✝⁸ : Preadditive C₁
inst✝⁷ : Preadditive C₂
K L : HomologicalComplex C₁ c
φ : K ⟶ L
F : C₁ ⥤ C₂
inst✝⁶ : F.Additive
inst✝⁵ : F.PreservesHomology
i : ι
inst✝⁴ : K.HasHomology i
inst✝³ : L.HasHomology i
inst✝² : ((F.mapHomologicalComplex c).obj K).HasHomology i
inst✝¹ : ((F.mapHomologicalComplex c).obj L).HasHomology i
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
⊢ ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₂ c i).map ((F.mapHomologicalComplex c).map φ)) ↔
    ShortComplex.QuasiIso ((shortComplexFunctor C₁ c i).map φ)


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
smul : P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q
⊢ W'.add (u • P) (v • Q) = u ^ 4 • W'.add P Q


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → R
h : P ≈ Q
u v : R
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v
⊢ P ≈ Q ↔ u • P ≈ v • Q


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ IsIso (toSpec 𝒜 f).val.base


case h.e'_5
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
f : A
m : ℕ
f_deg : f ∈ 𝒜 m
hm : 0 < m
⊢ (toSpec 𝒜 f).val.base = (projIsoSpecTopComponent f_deg hm).hom


R : Type u
inst✝² : Ring R
X Y : ModuleCat R
f : X ⟶ Y
M : Type v
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
hf : LinearMap.ker f = ⊥
⊢ Function.Injective ⇑f


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedRing α
f g : ι → α
s : Set ι
a b c d : α
⊢ AntivaryOn f g s ↔ ∀ ⦃i : ι⦄, i ∈ s → ∀ ⦃j : ι⦄, j ∈ s → (f j - f i) * (g j - g i) ≤ 0


R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m


R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m


case intro.mk.mk
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
inst✝⁶ : AddCommGroup M
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : LieRingModule L M
inst✝³ : LieModule R L M
inst✝² : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝¹ : LinearWeights R L M
χ✝ : L → R
inst✝ : IsNoetherian R M
χ : Weight R L M
hχ : Nontrivial ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
m : M
property✝ : m ∈ ↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ)
hm₁ : ⟨m, property✝⟩ ∈ ↑(maxTrivSubmodule R L ↥↑(shiftedWeightSpace R L M ⇑χ))
hm₂ : ⟨⟨m, property✝⟩, hm₁⟩ ≠ 0
⊢ ∃ m, m ≠ 0 ∧ ∀ (x : L), ⁅x, m⁆ = χ x • m


case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ m ∈ ↑(weightSpace M (χ ∘ ⇑⊤.incl)) ↔ m ∈ ↑(weightSpace M χ)


case h
K : Type u_1
R : Type u_2
L : Type u_3
M : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra R L
inst✝⁴ : LieAlgebra.IsNilpotent R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
χ : L → R
m : M
⊢ (∀ (a : L) (b : a ∈ ⊤), ∃ k, (((toEnd R (↥⊤) M) ⟨a, b⟩ - (χ ∘ ⇑⊤.incl) ⟨a, b⟩ • 1) ^ k) m = 0) ↔
    ∀ (x : L), ∃ k, (((toEnd R L M) x - χ x • 1) ^ k) m = 0


R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
⊢ (x ^ n).snd = n •> x.fst ^ n.pred •> x.snd


R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (Nat.pred 0 - i + i) •> x.snd) (List.range 0)).sum = 0 •> x.fst ^ Nat.pred 0 •> x.snd


R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n✝ : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n : ℕ
⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n.succ.pred - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)).sum =
    n.succ •> x.fst ^ n.succ.pred •> x.snd


R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n✝ : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n : ℕ
⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)).sum = n.succ •> x.fst ^ n •> x.snd


case refine_1
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n✝ : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n : ℕ
m : M
hm : m ∈ List.map (fun i => x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)
⊢ m = x.fst ^ n •> x.snd


case refine_1.intro.intro
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n✝ : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n i : ℕ
hi : i < n.succ
⊢ x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd = x.fst ^ n •> x.snd


case refine_2
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n✝ : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n : ℕ
⊢ (List.map (fun i => x.fst ^ (n - i + i) •> x.snd) (List.range n.succ)).length •> x.fst ^ n •> x.snd =
    n.succ •> x.fst ^ n •> x.snd


case succ
R : Type u
M : Type v
inst✝⁴ : Monoid R
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DistribMulAction R M
inst✝¹ : DistribMulAction Rᵐᵒᵖ M
inst✝ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
x : tsze R M
n✝ : ℕ
h : x.snd <• x.fst = x.fst •> x.snd
n : ℕ
ih : x.snd <• x.fst ^ n = x.fst ^ n •> x.snd
⊢ x.snd <• x.fst ^ (n + 1) = x.fst ^ (n + 1) •> x.snd


R : Type u
inst✝¹ : EuclideanDomain R
inst✝ : DecidableEq R
x y : R
⊢ xgcdAux x 1 0 y 0 1 = (gcd x y, xgcd x y)


R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
s : Set (PrimeSpectrum R)
⊢ IsIrreducible s ↔ (vanishingIdeal s).IsPrime


R : Type u_1
S : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : Semiring R
inst✝⁵ : Semiring S
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module S M
inst✝¹ : SMul S R
inst✝ : IsScalarTower S R M
p✝ q : Submodule R M
ι : Type u_4
s : Finset ι
p : ι → Submodule R M
x : M
⊢ x ∈ s.inf p ↔ ∀ i ∈ s, x ∈ p i


R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
y : W.CoordinateRing
hy : (map W f) y = 0
⊢ y = 0


case intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : (map W f) (p • 1 + q • (mk W) Y) = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0


case intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0


case intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
hp : Polynomial.map f p = 0
hq : Polynomial.map f q = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0


case intro.intro.intro
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : Affine R
f : R →+* S
hf : Function.Injective ⇑f
p q : R[X]
hy : Polynomial.map f p • 1 + Polynomial.map f q • (mk (WeierstrassCurve.map W f)) Y = 0
hp : p = 0
hq : q = 0
⊢ p • 1 + q • (mk W) Y = 0


R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ (unitization s).range = Algebra.adjoin R ↑s


R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : Semiring A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : SetLike S A
hSA : NonUnitalSubsemiringClass S A
hSRA : SMulMemClass S R A
s : S
⊢ Algebra.adjoin R ↑(NonUnitalAlgHom.range (NonUnitalSubalgebraClass.subtype s)) = Algebra.adjoin R ↑s


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : MulZeroClass α
a b : WithBot α
hb : b ≠ 0
⊢ ⊥ * b = ⊥


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
⊢ ofHom 0 = 0


α : Type u_1
inst✝² : OrderedCancelAddCommMonoid α
inst✝¹ : ExistsAddOfLE α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
⊢ map (fun x => c + x) (Icc a b) = Icc (c + a) (c + b)


case h_one
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι
⊢ length 0 = 0


case h_mul
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
s✝ t : Interval α
a : α
f : ι → Interval α
s : Finset ι
⊢ ∀ (x y : Interval α), (x + y).length ≤ x.length + y.length


case mk
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
⊢ ∀ (hx : x ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨x, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨x, hx⟩


case mk.refine_2
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =
    (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩


case mk.refine_2
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support
⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =
    (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩


case mk.refine_2.intro
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support
h1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
h2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =
    (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩


case mk.refine_2.intro
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support
ih :
  ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)),
    (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)
h1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}
h2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}
⊢ (decomposeAux f) ↑⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩ =
    (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩


case mk.refine_2.intro
M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support
ih :
  ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)),
    (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) (f m)
h1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}
h2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {f m}
ih' : (decomposeAux f) y = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨y, h2⟩ := ih h2
⊢ (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) (⟨Finsupp.single m b, ⋯⟩ + ⟨y, h2⟩) =
    (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) (f m)) ⟨Finsupp.single m b + y, hmby⟩


M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
⊢ Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support


M : Type u_1
ι : Type u_2
R : Type u_3
inst✝³ : AddMonoid M
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : AddMonoid ι
inst✝ : CommSemiring R
f : M →+ ι
i : ι
x : R[M]
m : M
b : R
y : M →₀ R
hmy : m ∉ y.support
hb : b ≠ 0
ih : ∀ (hx : y ∈ gradeBy R (⇑f) i), (decomposeAux f) ↑⟨y, hx⟩ = (DirectSum.of (fun i => ↥(gradeBy R (⇑f) i)) i) ⟨y, hx⟩
hmby : Finsupp.single m b + y ∈ gradeBy R (⇑f) i
this : Disjoint (Finsupp.single m b).support y.support
h1 : ↑(Finsupp.single m b).support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
h2 : ↑y.support ⊆ ⇑f ⁻¹' {i}
⊢ f m = i


C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X Y : Scheme
f : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑Y.toPresheafedSpace
V : Opens ↑↑(Y ∣_ᵤ U).toPresheafedSpace
W : Opens ↑↑(X ∣_ᵤ f ⁻¹ᵁ U).toPresheafedSpace
e : W ≤ (f ∣_ U) ⁻¹ᵁ V
⊢ Scheme.Hom.appLE (f ∣_ U) V W e = Scheme.Hom.appLE f (Scheme.ιOpens U ''ᵁ V) (Scheme.ιOpens (f ⁻¹ᵁ U) ''ᵁ W) ⋯


R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
⊢ (p + q).vars = p.vars ∪ q.vars


R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
h : Disjoint p.vars q.vars
x : σ
hx : x ∈ p.vars ∪ q.vars
⊢ x ∈ (p + q).vars


R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝ : DecidableEq σ
x : σ
h : p.degrees.Disjoint q.degrees
hx : x ∈ p.degrees.toFinset ∪ q.degrees.toFinset
⊢ x ∈ (p + q).degrees.toFinset


α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)


α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ (x ^ n - x ^ m) / (x - 1) = (x ^ m - x ^ n) / (1 - x)


α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ (y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i) = y ^ n - x ^ n


case a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op ((y - x) * ∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) = MulOpposite.op (y ^ n - x ^ n)


case a
α : Type u
inst✝ : Ring α
x y : α
h : Commute x y
n : ℕ
⊢ MulOpposite.op (∑ i ∈ range n, x ^ i * y ^ (n - 1 - i)) * (MulOpposite.op y - MulOpposite.op x) =
    MulOpposite.op y ^ n - MulOpposite.op x ^ n


R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
⊢ ker f = ⊥


R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ ker f = ⊥


R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : Semiring R₂
inst✝⁷ : Semiring R₃
inst✝⁶ : AddCommMonoid M
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : AddCommMonoid M₃
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Module R₂ M₂
inst✝¹ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
f : M →ₛₗ[τ₁₂] M₂
h : ∀ (u v : ↥(ker f) →ₗ[R] M), f.comp u = f.comp v → u = v
h₁ : f.comp 0 = 0
⊢ range 0 = ⊥


α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : MonoidWithZero M₀
u : M₀ˣ
⊢ inverse ↑u = ↑u⁻¹


C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
⊢ δ n m (liftCochain φ α β h) =
    -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯


C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : Preadditive C
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
K : CochainComplex C ℤ
n m : ℤ
α : Cochain K F m
β : Cochain K G n
h : n + 1 = m
m' : ℤ
hm' : m + 1 = m'
⊢ δ n m (α.comp (inl φ) ⋯ + β.comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯) =
    -(δ m m' α).comp (inl φ) ⋯ + (δ n m β + α.comp (Cochain.ofHom φ) ⋯).comp (Cochain.ofHom (inr φ)) ⋯


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
H : IsOpenImmersion f
⊢ Set.range ⇑(pullback.fst ≫ f).val.base = Set.range ⇑f.val.base ∩ Set.range ⇑g.val.base


R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ TopologicalSpace.Opens.IsBasis (Set.range basicOpen)


R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ TopologicalSpace.IsTopologicalBasis (SetLike.coe '' Set.range basicOpen)


case h.e'_3
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
⊢ SetLike.coe '' Set.range basicOpen = Set.range fun r => ↑(basicOpen r)


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
⊢ opcyclesMap' (-φ) h₁ h₂ = -opcyclesMap' φ h₁ h₂


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l m : Language α
a b x : List α
⊢ a.reverse ∈ l.reverse ↔ a ∈ l


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜
s : Set (Set A)
⊢ zeroLocus 𝒜 (⋃ s' ∈ s, s') = ⋂ s' ∈ s, zeroLocus 𝒜 s'


a b : Rat
⊢ a - b = normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯


a b : Rat
⊢ a.sub b = normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯


case isTrue
a b : Rat
h✝ : a.den.gcd b.den = 1
⊢ { num := a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den, den := a.den * b.den, den_nz := ⋯, reduced := ⋯ } =
    normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯


case isFalse
a b : Rat
h✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1
⊢ maybeNormalize (a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den))
      (a.den / a.den.gcd b.den * b.den)
      ((a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den)).natAbs.gcd (a.den.gcd b.den)) ⋯ ⋯ =
    normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯


case isFalse
a b : Rat
h✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1
this : a.den.gcd b.den ≠ 0
⊢ maybeNormalize (a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den))
      (a.den / a.den.gcd b.den * b.den)
      ((a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den)).natAbs.gcd (a.den.gcd b.den)) ⋯ ⋯ =
    normalize (a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den) (a.den * b.den) ⋯


case isFalse.e_num
a b : Rat
h✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1
this : a.den.gcd b.den ≠ 0
⊢ (a.num * ↑(b.den / a.den.gcd b.den) - b.num * ↑(a.den / a.den.gcd b.den)) * ↑(a.den.gcd b.den) =
    a.num * ↑b.den - b.num * ↑a.den


case isFalse.e_den
a b : Rat
h✝ : ¬a.den.gcd b.den = 1
this : a.den.gcd b.den ≠ 0
⊢ a.den / a.den.gcd b.den * b.den * a.den.gcd b.den = a.den * b.den


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
c : KernelFork S.g
hc : IsLimit c
⊢ (ofIsLimitKernelFork S hf c hc).g' = S.g


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ |a| < |b| ↔ a * a < b * b


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
⊢ |a| < |b| ↔ |a| * |a| < |b| * |b|


d : Nat
n : Int
a : Nat
d0 : d ≠ 0
a0 : a ≠ 0
⊢ normalize (↑a * n) (a * d) ⋯ = normalize n d d0


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
⊢ ∃ c ∈ Set.Ioo 0 1, ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : (fun n => ↑n / log ↑n ^ 2) =o[atTop] fun n => ↑n
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ c * ↑n


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ‖↑n / log ↑n ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑n‖
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n


case h
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ↑n
⊢ ↑(r i n) ≤ c * ↑n


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
⊢ 0 < 1 - b (max_bi b)


case h.bc
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
c : ℝ := b (max_bi b) + (1 - b (max_bi b)) / 2
h_max_bi_pos : 0 < b (max_bi b)
h_max_bi_lt_one : 0 < 1 - b (max_bi b)
hc_pos : 0 < c
h₁ : 0 < (1 - b (max_bi b)) / 2
hc_lt_one : c < 1
hlo : ∀ ⦃c : ℝ⦄, 0 < c → ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ c * ‖↑x‖
hlo' : ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑x / log ↑x ^ 2‖ ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ‖↑x‖
n : ℕ
hn' : ∀ (i : α), ↑(r i n) ≤ b i * ↑n + ↑n / log ↑n ^ 2
i : α
hn : ↑n / log ↑n ^ 2 ≤ (1 - b (max_bi b)) / 2 * ↑n
⊢ b i ≤ b (max_bi b)


α : Type u_1
inst✝³ : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝² : Group α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Set α
hs₀ : s.Nonempty
hs₁ : BddAbove s
ht₀ : t.Nonempty
ht₁ : BddBelow t
⊢ sSup (s / t) = sSup s / sInf t


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
G : Type u_6
H : Type u_7
F : Type u_8
inst✝³ : MulOneClass M
inst✝² : MulOneClass N
inst✝¹ : CommGroup G
inst✝ : CommGroup H
f : G →* H
g h : M →* G
x✝ : M
⊢ (f.comp (g / h)) x✝ = (f.comp g / f.comp h) x✝


R : Type uR
inst✝³ : CommRing R
A : Type uA
inst✝² : AddCommGroup A
A' : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup A'
B : Type uB
inst✝ : AddCommGroup B
a : A
h : a ≠ 0
⊢ ∃ c, c a ≠ 0


R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ (W.map f).ψ n = Polynomial.map (mapRingHom f) (W.ψ n)


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
v : α
inst✝¹ : TransCmp cmp
inst✝ : IsStrictCut cmp cut
t : RBSet α cmp
h : cut v ≠ Ordering.eq
⊢ (t.insert v).findP? cut = t.findP? cut


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
v : α
inst✝¹ : TransCmp cmp
inst✝ : IsStrictCut cmp cut
t : RBSet α cmp
h : cut v ≠ Ordering.eq
u : α
h' : cut u = Ordering.eq
⊢ u ∈ (t.insert v).toList ↔ u ∈ t.toList


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
v : α
inst✝¹ : TransCmp cmp
inst✝ : IsStrictCut cmp cut
t : RBSet α cmp
h : cut v ≠ Ordering.eq
u : α
h' : cut u = Ordering.eq
⊢ t.find? v ≠ some u


α : Type u_1
cmp : α → α → Ordering
cut : α → Ordering
v : α
inst✝¹ : TransCmp cmp
inst✝ : IsStrictCut cmp cut
t : RBSet α cmp
h✝ : cut v ≠ Ordering.eq
u : α
h' : cut u = Ordering.eq
h : t.find? v = some u
⊢ cut v = Ordering.eq


ι✝ : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : CommSemiring A
inst✝ : Algebra R A
M N : Submodule R A
m n : A
ι : Type u_1
s : Finset ι
x : ι → A
⊢ ∏ i ∈ s, span R {x i} = span R {∏ i ∈ s, x i}


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
⊢ ∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), 0 < log (b i * ↑n)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α
⊢ ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, 0 < log (b i * ↑x)


case refine_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
h : s * t = 1
⊢ ∃ a b, s = pure a ∧ t = pure b ∧ a * b = 1


case refine_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
h : (s * t).toProd.1 = (toProd 1).1 ∧ (s * t).toProd.2 = (toProd 1).2
⊢ ∃ a b, s = pure a ∧ t = pure b ∧ a * b = 1


case refine_1
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : NonemptyInterval α
h : (s * t).toProd.1 = (toProd 1).1 ∧ (s * t).toProd.2 = (toProd 1).2
this : s.toProd.1 = s.toProd.2 ∧ t.toProd.1 = t.toProd.2
⊢ ∃ a b, s = pure a ∧ t = pure b ∧ a * b = 1


case refine_2.intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝ : OrderedCommGroup α
b c : α
h : b * c = 1
⊢ pure b * pure c = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
σ : Type u_4
inst✝³ : Primcodable α
inst✝² : Primcodable β
inst✝¹ : Primcodable γ
inst✝ : Primcodable σ
f : α →. σ
h : Nat.Partrec fun n => (↑(decode₂ α n)).bind fun a => Part.map encode (f a)
⊢ Partrec fun a => Part.map encode (f a)


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ [a ≡ b [PMOD p], ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p), toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b,
      toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b].TFAE


case tfae_3_to_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)


case tfae_3_to_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
⊢ (∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = toIocMod hp a b


case tfae_4_to_3
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
h : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b


case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b


case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ a < a + p ∧ ∃ z, b = a + p + z • p


case tfae_1_to_4
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
h : toIcoMod hp a b = a
⊢ b = a + toIcoDiv hp a b • p


case tfae_2_to_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ (∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)) → toIcoMod hp a b = a


case tfae_2_to_1
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a b c : α
n : ℤ
tfae_3_to_2 : toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b → ∀ (z : ℤ), b - z • p ∉ Set.Ioo a (a + p)
tfae_4_to_3 : toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b → toIcoMod hp a b ≠ toIocMod hp a b
tfae_1_to_4 : toIcoMod hp a b = a → toIcoMod hp a b + p = toIocMod hp a b
⊢ ¬toIcoMod hp a b = a → ∃ x, b - x • p ∈ Set.Ioo a (a + p)


case pos
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : c < a
hab : a ≤ b
⊢ AntitoneOn (fun x => (x - c)⁻¹) (Set.Icc a b)


case neg
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : c < a
hab : ¬a ≤ b
⊢ AntitoneOn (fun x => (x - c)⁻¹) (Set.Icc a b)


E : Type u_1
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁹ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁸ : MeasurableSpace E
inst✝⁷ : BorelSpace E
L✝ : AddSubgroup E
inst✝⁶ : DiscreteTopology ↥L✝
inst✝⁵ : IsZlattice ℝ L✝
μ : autoParam (Measure E) _auto✝
inst✝⁴ : Measure.IsAddHaarMeasure μ
ι : Type u_2
inst✝³ : Fintype ι
inst✝² : DecidableEq ι
L : AddSubgroup (ι → ℝ)
inst✝¹ : DiscreteTopology ↥L
inst✝ : IsZlattice ℝ L
b : Basis ι ℤ ↥L
⊢ covolume L volume = |(Matrix.of (Subtype.val ∘ ⇑b)).det|


case pos
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : c.Rel j (c.next j)
⊢ inrX φ i ≫ d φ i j = G.d i j ≫ inrX φ j


case pos.h₁
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : c.Rel j (c.next j)
⊢ (inrX φ i ≫ d φ i j) ≫ fstX φ j (c.next j) hj = (G.d i j ≫ inrX φ j) ≫ fstX φ j (c.next j) hj


case pos.h₂
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : c.Rel j (c.next j)
⊢ (inrX φ i ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (G.d i j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j


case neg
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ inrX φ i ≫ d φ i j = G.d i j ≫ inrX φ j


case neg
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : c.Rel i j
hj : ¬c.Rel j (c.next j)
⊢ (inrX φ i ≫ d φ i j) ≫ sndX φ j = (G.d i j ≫ inrX φ j) ≫ sndX φ j


case neg
C : Type u_1
inst✝³ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝² : Preadditive C
ι : Type u_2
c : ComplexShape ι
F G K : HomologicalComplex C c
φ : F ⟶ G
inst✝¹ : HasHomotopyCofiber φ
inst✝ : DecidableRel c.Rel
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ inrX φ i ≫ d φ i j = G.d i j ≫ inrX φ j


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedField α
a b c d : α
n : ℤ
ha : a < 0
hb : b < 0
⊢ 1 / a < b ↔ 1 / b < a


R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ↑⁅I, N⁆ = Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
aux : ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ ↑⁅I, N⁆ ≤ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}


case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
aux : ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ ⁅I, N⁆ ≤
    let __src := Submodule.span R s;
    { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ }


case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
aux : ∀ (y : L), ∀ m' ∈ Submodule.span R s, ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆
    ↑(let __src := Submodule.span R s;
      { toSubmodule := __src, lie_mem := ⋯ })


R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
⊢ ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s


case refine_1.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
m'' : M
x : ↥I
n : ↥N
hm'' : ⁅↑x, ↑n⁆ = m''
⊢ ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s


case refine_1.intro.intro
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
m'' : M
x : ↥I
n : ↥N
hm'' : ⁅↑x, ↑n⁆ = m''
⊢ ⁅⁅y, ↑x⁆, ↑n⁆ + ⁅↑x, ⁅y, ↑n⁆⁆ ∈ Submodule.span R s


case refine_2
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
⊢ (fun m' => ⁅y, m'⁆ ∈ Submodule.span R s) 0


case refine_3
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
m₁ m₂ : M
hm₁ : ⁅y, m₁⁆ ∈ Submodule.span R s
hm₂ : ⁅y, m₂⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ ⁅y, m₁ + m₂⁆ ∈ Submodule.span R s


case refine_3
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
m₁ m₂ : M
hm₁ : ⁅y, m₁⁆ ∈ Submodule.span R s
hm₂ : ⁅y, m₂⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ ⁅y, m₁⁆ + ⁅y, m₂⁆ ∈ Submodule.span R s


case refine_4
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
t : R
m'' : M
hm'' : ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ ⁅y, t • m''⁆ ∈ Submodule.span R s


case refine_4
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
s : Set M := {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}
y : L
m' : M
hm' : m' ∈ Submodule.span R s
t : R
m'' : M
hm'' : ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s
⊢ t • ⁅y, m''⁆ ∈ Submodule.span R s


case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑⁅I, N⁆


case a
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ Submodule.span R {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ≤ ↑(lieSpan R L {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m})


F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
⊢ p a b


case refine_1.inl.inr
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
x y : A
hx : x ∈ s
hy : y ∈ star s
⊢ p x y


case refine_1.inr.inl
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
x y : A
hx : x ∈ star s
hy : y ∈ s
⊢ p x y


case refine_1.inr.inr
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
x y : A
hx : x ∈ star s
hy : y ∈ star s
⊢ p x y


case refine_2.inr
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : Semiring A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : StarRing A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : StarRing B
inst✝ : StarModule R B
s : Set A
p : A → A → Prop
a b : A
ha : a ∈ adjoin R s
hb : b ∈ adjoin R s
Hs : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, p x y
Halg : ∀ (r₁ r₂ : R), p ((algebraMap R A) r₁) ((algebraMap R A) r₂)
Halg_left : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p ((algebraMap R A) r) x
Halg_right : ∀ (r : R), ∀ x ∈ s, p x ((algebraMap R A) r)
Hadd_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ + x₂) y
Hadd_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ + y₂)
Hmul_left : ∀ (x₁ x₂ y : A), p x₁ y → p x₂ y → p (x₁ * x₂) y
Hmul_right : ∀ (x y₁ y₂ : A), p x y₁ → p x y₂ → p x (y₁ * y₂)
Hstar : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) (star y)
Hstar_left : ∀ (x y : A), p x y → p (star x) y
Hstar_right : ∀ (x y : A), p x y → p x (star y)
r : R
x : A
hx : x ∈ star s
⊢ p ((algebraMap R A) r) x